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• 反对称行列式与"准对称"行列式的计算

(1)反对称行列式

$\left| \begin{matrix} x& a& a& \cdots& a& a\\ -a& x& a& \cdots& a& a\\ -a& -a& x& \cdots& a& a\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ -a& -a& -a& \cdots& -a& x\\ \end{matrix} \right|$

(2)"准对称"行列式

$\left| \begin{matrix} x& y& y& \cdots& y& y\\ z& x& y& \cdots& y& y\\ z& z& x& \cdots& y& y\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ z& z& z& \cdots& x& y\\ z& z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|$

• 极大线性无关组的证明技巧

(1) 已知$\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s$的秩为$r$, 证明：$\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s$中的任意$r$个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

(2) 设 $\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s$的秩为$r$, $\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir}$ 是$\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s$中的$r$个向量, 使得$\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s$中的任何向量都可以由它们线性表出，证明： $\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir}$ 是$\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s$的一个极大线性无关组。

(3) 证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组。

证明以下两个命题：

(1) 设$f(x)$在[a,b]上连续$f(a)=f(b)=0$, 且$f^{'}_{+}(a)\cdot f^{'}_{-}(b)>0$, 证明：$f(x)$在(a,b)上至少存在一个零点;

(2) 函数$f(x)$满足$f(0)=0$. 证明：$f(x)$在$x=0$处可导$\Leftrightarrow$存在$g(x)$(在0处连续), 使得$f(x)=xg(x)$,且此时$f^{'}(0)=g(0)$.

• 詹森不等式及其应用

(1) 叙述并证明Jenson不等式；

(2) 证明：$(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\leq a^ab^bc^c(a,b,c均大于0)$

• 向量组线性表示法唯一

假设向量$\beta$可以经向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性表出，证明：表示法是唯一的充要条件是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关.

• 严格对角占优矩阵的性质

设

$A=\left( \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right)$

为一实数域上的矩阵，证明：
(1) 如果$|a_{ii}|>\sum\limits_{j\neq i}|a_{ij}|,i=1,2,\cdots,n$,(严格对角占优：即每一行元素绝对值中对角线元素大于其它元素之和), 那么$|A|\neq 0$
(2)如果$a_{ii}>\sum\limits_{j\neq i}|a_{ij}|,i=1,2,\cdots,n$,(即每一行元素中对角线元素大于其它元素绝对值之和), 那么$|A|> 0$

• 微分中值定理与零点定理

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 上可导, 且 $f(0)=f(1)=0, f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$. 证明:

(1) 存在 $\xi \in\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$, 使得 $f(\xi)=\xi$;

(2) 对于任意实数 $\lambda$, 必存在 $\eta \in(0, \xi)$,使得

$f^{\prime}(\eta)-\lambda[f(\eta)-\eta]=1 .$

• 微分中值定理：还原法构造函数

（2022·上海大学·8） 设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶可导, 且 $f(0)=0$, 证明: 存在 $\xi \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得

$f^{\prime \prime}(\xi)=3 f^{\prime}(\xi) \tan \xi+2 f(\xi)$

• Lagrange中值定理证明题目

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,在 $(a,b)$ 上二阶可导, 证明存在 $\eta \in(a, b)$,使得

$f(b)+f(a)-2f(\dfrac{a+b}{2})=(\dfrac{a+b}{2})^2f''(\eta)$

• 与(准)对角矩阵可交换的矩阵只能是(准)对角矩阵。

证明：与(准)对角矩阵可交换的矩阵只能是(准)对角矩阵。