Lagrange中值定理证明题目

• Lagrange中值定理证明题目

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,在 $(a,b)$ 上二阶可导, 证明存在 $\eta \in(a, b)$,使得

$f(b)+f(a)-2f(\dfrac{a+b}{2})=(\dfrac{a+b}{2})^2f''(\eta)$

思路： 应用Lagrange中值定理证明；根据要证明的结果，可以发现等号左边可以分开写：

$f(b)+f(a)-2f(\dfrac{a+b}{2})$$=[f(b)-f(\dfrac{a+b}{2})]+[f(a)-f(\dfrac{a+b}{2})]$, 据此考虑构造函数$g(x)=f(x)-f(x-\dfrac{b-a}{2})$

证明： 构造函数$g(x)=f(x)-f(x-\dfrac{b-a}{2})$，

$f(b)+f(a)-2f(\dfrac{a+b}{2})=g(b)-g(\dfrac{a+b}{2})$

故在$[\dfrac{a+b}{2},b]$上应用两次Lagrange中值定理，

$\begin{aligned} &g(b)-g(\dfrac{a+b}{2})=g'(\xi)(\dfrac{a+b}{2})\\ &=[f'(\xi)-f'(\xi-\dfrac{b-a}{2})](\dfrac{a+b}{2})\\ &=f''(\eta)(\dfrac{a+b}{2})^2 \end{aligned}$

得证.