保号性证明导数的零点定理

证明以下两个命题：

(1) 设$f(x)$在[a,b]上连续$f(a)=f(b)=0$, 且$f^{'}_{+}(a)\cdot f^{'}_{-}(b)>0$, 证明：$f(x)$在(a,b)上至少存在一个零点;

(2) 函数$f(x)$满足$f(0)=0$. 证明：$f(x)$在$x=0$处可导$\Leftrightarrow$存在$g(x)$(在0处连续), 使得$f(x)=xg(x)$,且此时$f^{'}(0)=g(0)$.

证 (1) $f^{'}_{+}(a)\cdot f^{'}_{-}(b)>0\Longrightarrow f^{'}_{+}(a)与 f^{'}_{-}(b)$同正或同负。
不妨设$ f^{’}{+}(a)>0, f^{’}{-}(b)>0$(同负同理)

根据导数定义与连续函数极限的保号性：
$f^{'}_{+}(a)>0\Longrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow a^+}\dfrac{f(x)}{x-a}>0(用到f(a)=0)$$\Longrightarrow \exists \varepsilon,x_1\in U_+(a,\varepsilon),f(x_1)>0(用到x-a>0)$

$f^{'}_{-}(b)>0\Longrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow b^-}\dfrac{f(x)}{x-b}>0(用到f(b)=0)$$\Longrightarrow \exists \varepsilon,x_2\in U_-(b,\varepsilon),f(x_2)<0(用到x-b<0)$

根据零点定理，$f(x)$在(a,b)上至少存在一个零点.

(2) 必要性. 取$g\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{f\left( x \right)}{x},x\neq 0\\ f'(0),x=0\\ \end{array} \right.$

显然，$f(x)=xg(x)$,且此时$f^{'}(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x \right)}{x}=g(0)(g在0处连续)$.

充分性. $f^{'}(0)=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x \right)}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0}\dfrac{xg\left( x \right)}{x}=g(0)$, 所以，$f(x)$在$x=0$处可导.