与(准)对角矩阵可交换的矩阵只能是(准)对角矩阵

• 与(准)对角矩阵可交换的矩阵只能是(准)对角矩阵。

证明：与(准)对角矩阵可交换的矩阵只能是(准)对角矩阵。

思路 将可交换的矩阵设出来，根据$AB=BA$计算即可.

解 (1) 记矩阵

$A=\left( \begin{matrix} a_1& 0& \cdots& 0\\ 0& a_2& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ 0& 0& \cdots& a_n\\ \end{matrix} \right),\ B=\left( \begin{matrix} b_{11}& b_{12}& \cdots& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots& b_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots& b_{nn}\\ \end{matrix} \right)$

对角矩阵中, 当$i\neq j$时$a_i\neq a_j$.

矩阵乘法计算可得

$AB=\left( \begin{matrix} a_1b_{11}& a_1b_{12}& \cdots& a_1b_{1n}\\ a_2b_{21}& a_2b_{22}& \cdots& a_2b_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_nb_{n1}& a_nb_{n2}& \cdots& a_nb_{nn}\\ \end{matrix} \right),\ BA=\left( \begin{matrix} a_1b_{11}& a_2b_{12}& \cdots& a_nb_{1n}\\ a_1b_{21}& a_2b_{22}& \cdots& a_nb_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_1b_{n1}& a_2b_{n2}& \cdots& a_nb_{nn}\\ \end{matrix} \right)$

根据$AB=BA$，则$a_ib_{ij}=a_{j}b_{ij},i,j=1,2,\cdots,n$

当$i\neq j$时$a_i\neq a_j$, 必然$b_{ij}=0$, 所以$B$是对角矩阵.

(2) 按照和(1)同样的方法，

记矩阵

$A=\left( \begin{matrix} a_1E_1& 0& \cdots& 0\\ 0& a_2E_2& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ 0& 0& \cdots& a_rE_r\\ \end{matrix} \right),\ B=\left( \begin{matrix} b_{11}& b_{12}& \cdots& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& \cdots& b_{2n}\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ b_{n1}& b_{n2}& \cdots& b_{nn}\\ \end{matrix} \right)$

准对角矩阵$A$中, 当$i\neq j$时$a_i\neq a_j$, 为n阶矩阵.