詹森不等式及其应用

• 詹森不等式及其应用

(1) 叙述并证明Jenson不等式；

(2) 证明：$(abc)^{\frac{a+b+c}{3}}\leq a^ab^bc^c(a,b,c均大于0)$

思路 用到下凸函数（也称上凹）定义：

函数$f(x)$,定义区间为$I$, $\forall x_1,x_2\in I, \lambda\in(0,1)$,有

$f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)$.

解 （1） (Jensen 不等式) 设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的连续下凸（上凸）函数, 证明对于任意 $x_{i} \in[a, b]$ 和 $\lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n), \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=1$, 成立

$f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right) ;(下凸)$

$或f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}\right) \geqslant \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right) .(上凸)$

证： 只证下凸情况，应用数学归纳法.

a. 当 $k=2$ 时, 由下凸函数定义知 Jensen 不等式成立.

b. 现假设 当 $k=n-1$ 时 Jensen 不等式成立, 则当 $k=n$ 时,

$\begin{aligned} f\left(\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} x_{i}\right) &=f\left(\left(\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i}\right) \cdot \frac{\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i}}+\lambda_{n} x_{n}\right) \\ & \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i}\right) f\left(\frac{\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i}}\right)+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right) \\ & \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i}\right) \sum_{i=1}^{n-1} \frac{\lambda_{i}}{\sum_{i=1}^{n-1} \lambda_{i}} f\left(x_{i}\right)+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right) \end{aligned}$

$=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right) .$

所以 Jensen 不等式对一切正整数 $n$ 成立.

(2) 设 $f(x)=x \ln x$, 则

$\begin{aligned} &f^{\prime}(x)=1+\ln x, \\ &f^{\prime \prime}(x)=\frac{1}{x}>0, \forall x>0, \end{aligned}$

所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格下凸, 因而

$\frac{a+b+c}{3} \ln \frac{a+b+c}{3} \leqslant \frac{a \ln a+b \ln b+c \ln c}{3}, \forall a, b, c>0 .$

利用平均值不等式 $\sqrt[3]{a b c} \leqslant \frac{a+b+c}{3}, \forall a, b, c>0$, 得到

$\frac{a+b+c}{3} \ln \sqrt[3]{a b c} \leqslant \frac{a+b+c}{3} \ln \frac{a+b+c}{3} \leqslant \frac{a \ln a+b \ln b+c \ln c}{3},$

整理即可得证.