微分中值定理：还原法构造函数

• 微分中值定理：还原法构造函数

（2022·上海大学·8） 设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上二阶可导, 且 $f(0)=0$, 证明: 存在 $\xi \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得

$f^{\prime \prime}(\xi)=3 f^{\prime}(\xi) \tan \xi+2 f(\xi)$

证 设 $g(x)=f(x) \cos ^{2} x$（如何构造?往下看）
$\Rightarrow g^{\prime}(x)=\cos x\left(f^{\prime}(x) \cos x-2 f(x) \sin x\right)$. 由于 $f(0)=0$，故 $g(0)=0$ 且 $g\left(\frac{\pi}{2}\right)=0, g\left(-\frac{\pi}{2}\right)=0$. 利用罗尔中值定理，有

$\exists \xi_{1} \in\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right), \xi_{2} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$

使得 $g^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=g^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$.

由于$\cos \xi_{1} \neq 0$ 且 $\cos \xi_{2} \neq 0$, 故令$\left.h(x)=f^{\prime}(x) \cos x-2 f(x) \sin x\right.$

有 $h\left(\xi_{1}\right)=0$ 且 $h\left(\xi_{2}\right)=0$. 而

$h^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \cos x-3 f^{\prime}(x) \sin x-2 f(x)\cos x.$

利用罗尔定理,存在 $\xi \in\left(\xi_{1}, \xi_{2}\right)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=3 f^{\prime}(\xi) \tan 3+2 f(\xi)$ .

还原法构造函数
step1: 先将$\xi$换成$x$

$f^{\prime \prime}(x)=3 f^{\prime}(x) \tan x+2 f(x)$

step2: 整理如下：

$\begin{aligned} &f^{\prime \prime}(x) \cos x=3 f^{\prime}(x) \sin x+2 f(x) \cos x\\ &\left(f^{\prime}(x) \cos x-f^{\prime}(x) \sin x\right)-2\left(f^{\prime}(x) \sin x-f(x) \cos x\right)=0\\ &\left(f^{\prime}(x) \cos x\right)^{\prime}-2(f(x) \sin x)^{\prime}=0\\ &\Rightarrow\left(f^{\prime}(x) \cos x-2 f(x) \sin x\right)^{\prime}=0 \end{aligned}$

step3: 根据 $f^{\prime}(x) \cos x-2 f(x) \sin x=0$用还原法构造：整理为 $(\ln f(x))^{\prime}-\left(\ln g(x)\right)^{\prime}=0$ 形式.

$\begin{aligned} &\dfrac{f^{\prime}(x) }{f(x)}-2 \tan x=0\\ &\Rightarrow(\ln f(x))^{\prime}-2(\ln |\cos x|)^{\prime}=0\\ &(\ln f(x))^{\prime}-\left(\ln \cos ^{2} x\right)^{\prime}=0\\ &\Rightarrow g(x)=f(x) \cos ^{2} x. \end{aligned}$