微分中值定理与零点定理

• 微分中值定理与零点定理

设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 上可导, 且 $f(0)=f(1)=0, f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1$. 证明:

(1) 存在 $\xi \in\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$, 使得 $f(\xi)=\xi$;

(2) 对于任意实数 $\lambda$, 必存在 $\eta \in(0, \xi)$,使得

$f^{\prime}(\eta)-\lambda[f(\eta)-\eta]=1 .$

思路 考察微分中值定理与零点定理。

证明 (1) 应用零点定理证明；

令$F(x)=f(x)-x$, 在$[\dfrac{1}{2},1]$上连续且满足$F(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}>0,F(1)=-1<0$

根据零点定理，存在 $\xi \in\left(\dfrac{1}{2}, 1\right)$, 使得$F(\xi)=0$即 $f(\xi)=\xi$.

(2) 用还原法构造，将$g(x)=f(x)-x$当作一个整体, 从结论入手，$g'(x)=f'(x)-1$

于是结论变为：$g'(x)-\lambda g(x)=0$, 利用还原法直接可构造函数为$G(x)=e^{-\lambda x}[f(x)-x]$

$G(0)=G(\xi)=0$, 由罗尔定理，必存在 $\eta \in(0, \xi)$,使得$G'(\eta)=0$

即$f^{\prime}(\eta)-\lambda[f(\eta)-\eta]=1$