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数学学习笔记

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反对称行列式与"准对称"行列式的计算

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(1)反对称行列式

∣xaa⋯aa−axa⋯aa−a−ax⋯aa⋮⋮⋮⋮⋮−a−a−a⋯−ax∣\left| \begin{matrix} x& a& a& \cdots& a& a\\ -a& x& a& \cdots& a& a\\ -a& -a& x& \cdots& a& a\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ -a& -a& -a& \cdots& -a& x\\ \end{matrix} \right|

(2)"准对称"行列式

∣xyy⋯yyzxy⋯yyzzx⋯yy⋮⋮⋮⋮⋮zzz⋯xyzzz⋯zx∣\left| \begin{matrix} x& y& y& \cdots& y& y\\ z& x& y& \cdots& y& y\\ z& z& x& \cdots& y& y\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ z& z& z& \cdots& x& y\\ z& z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|

思路 容易发现(2)中行列式是(1)的一般形式，只需令y=a,z=−ay=a,z=-a便变成了(1), 我们只计算(2). 采用递推方式与行列式转置相等的性质计算。

解 （2）分两种情况讨论：

i) 当y=zy=z时, 为行和相等行列式，让所有列均加到第一列，得到

Dn=∣xzz⋯zzzxz⋯zzzzx⋯zz⋮⋮⋮⋮⋮zzz⋯xzzzz⋯zx∣=∣x+(n−1)zzz⋯zzx+(n−1)zxz⋯zzx+(n−1)zzx⋯zz⋮⋮⋮⋮⋮x+(n−1)zzz⋯xzx+(n−1)zzz⋯zx∣D_n=\left| \begin{matrix} x& z& z& \cdots& z& z\\ z& x& z& \cdots& z& z\\ z& z& x& \cdots& z& z\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ z& z& z& \cdots& x& z\\ z& z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} x+\left( n-1 \right) z& z& z& \cdots& z& z\\ x+\left( n-1 \right) z& x& z& \cdots& z& z\\ x+\left( n-1 \right) z& z& x& \cdots& z& z\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ x+\left( n-1 \right) z& z& z& \cdots& x& z\\ x+\left( n-1 \right) z& z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|

=[x+(n−1)z]∣1zz⋯zz1xz⋯zz1zx⋯zz⋮⋮⋮⋮⋮1zz⋯xz1zz⋯zx∣=\left[ x+\left( n-1 \right) z \right] \left| \begin{matrix} 1& z& z& \cdots& z& z\\ 1& x& z& \cdots& z& z\\ 1& z& x& \cdots& z& z\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 1& z& z& \cdots& x& z\\ 1& z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|

=[x+(n−1)z]∣100⋯001x−z0⋯0010x−z⋯00⋮⋮⋮⋮⋮100⋯x−z0100⋯0x−z∣=\left[ x+\left( n-1 \right) z \right] \left| \begin{matrix} 1& 0& 0& \cdots& 0& 0\\ 1& x-z& 0& \cdots& 0& 0\\ 1& 0& x-z& \cdots& 0& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 1& 0& 0& \cdots& x-z& 0\\ 1& 0& 0& \cdots& 0& x-z\\ \end{matrix} \right|

=[x+(n−1)z](x−z)n−1=\left[ x+\left( n-1 \right) z \right] \left( x-z \right) ^{n-1}

ii) 当y≠zy\neq z时,

a. 先构造原行列式的递推关系：

Dn=∣xyy⋯yyzxy⋯yyzzx⋯yy⋮⋮⋮⋮⋮zzz⋯xyzzz⋯zx∣=j2×(−1)+j1∣x−yyy⋯yyz−xxy⋯yy0zx⋯yy⋮⋮⋮⋮⋮0zz⋯xy0zz⋯zx∣D_n=\left| \begin{matrix} x& y& y& \cdots& y& y\\ z& x& y& \cdots& y& y\\ z& z& x& \cdots& y& y\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ z& z& z& \cdots& x& y\\ z& z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{j_2\times \left( -1 \right) +j_1}\left| \begin{matrix} x-y& y& y& \cdots& y& y\\ z-x& x& y& \cdots& y& y\\ 0& z& x& \cdots& y& y\\ \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 0& z& z& \cdots& x& y\\ 0& z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|

=(x−y)Dn−1+(x−z)∣yy⋯yyzx⋯yy⋮⋮⋮⋮zz⋯xyzz⋯zx∣=\left( x-y \right) D_{n-1}+\left( x-z \right) \left| \begin{matrix} y& y& \cdots& y& y\\ z& x& \cdots& y& y\\ \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ z& z& \cdots& x& y\\ z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|

=(x−y)Dn−1+(x−z)yz∣zz⋯zzzx⋯yy⋮⋮⋮⋮zz⋯xyzz⋯zx∣=\left( x-y \right) D_{n-1}+\left( x-z \right) \dfrac{y}{z}\left| \begin{matrix} z& z& \cdots& z& z\\ z& x& \cdots& y& y\\ \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ z& z& \cdots& x& y\\ z& z& \cdots& z& x\\ \end{matrix} \right|

=(x−y)Dn−1+(x−z)yz∣zz⋯zz0x−z⋯y−zy−z⋮⋮⋮⋮00⋯x−zy−z00⋯0x−z∣=\left( x-y \right) D_{n-1}+\left( x-z \right) \dfrac{y}{z}\left| \begin{matrix} z& z& \cdots& z& z\\ 0& x-z& \cdots& y-z& y-z\\ \vdots& \vdots& & \vdots& \vdots\\ 0& 0& \cdots& x-z& y-z\\ 0& 0& \cdots& 0& x-z\\ \end{matrix} \right|

=(x−y)Dn−1+y(x−z)n−1=\left( x-y \right) D_{n-1}+y\left( x-z \right) ^{n-1}

b. 构造转置行列式的递推关系：将a.中z=y,y=zz=y, y=z, （为转置行列式，依然=DnD_n), 得到

Dn=(x−z)Dn−1+z(x−y)n−1D_n=\left( x-z \right) D_{n-1}+z\left( x-y \right) ^{n-1}

联立两式，Dn=y(x−z)n−z(x−y)ny−zD_{n}=\dfrac{y(x-z)^n-z(x-y)^n}{y-z}