向量组线性表示法唯一

• 向量组线性表示法唯一

假设向量$\beta$可以经向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性表出，证明：表示法是唯一的充要条件是$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关.

思路 必要性：反证法；充分性：唯一性证明套路（假设有两个，证明这两个一样）

证明： 必要性：

a. 已知表示法唯一，设$\beta=l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+\cdots+l_r\alpha_r$
b. 假设$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性相关：存在不全为0的数$k_1,k_2,\cdots,k_r$,使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r=0$

综合以上a.b.两个式子，$\beta=l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+\cdots+l_r\alpha_r+0$
$=l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+\cdots+l_r\alpha_r+k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$
$=(l_1+k_1)\alpha_1+(l_2+k_2)\alpha_2+\cdots+(l_r+k_r)\alpha_r$

由于$k_1,k_2,\cdots,k_r$为不全为0的数，所以存在一个$l_i+k_i\neq l_i$,这杨$\beta$有两种表示方法，与唯一性矛盾。

充分性：
已知$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关, 假设：$\beta=l_1\alpha_1+l_2\alpha_2+\cdots+l_r\alpha_r$
$=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$

则$0=(l_1-k_1)\alpha_1+(l_2-k_2)\alpha_2+\cdots+(l_r-k_r)\alpha_r$
由于$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$线性无关，则$l_1=k_1,l_2=k_2,\cdots,l_r=k_r$