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极大线性无关组的证明技巧

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(1) 已知α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s的秩为rr, 证明：α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中的任意rr个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。

(2) 设 α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s的秩为rr, αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 是α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中的rr个向量, 使得α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中的任何向量都可以由它们线性表出，证明： αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 是α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s的一个极大线性无关组。

(3) 证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一个极大线性无关组。

思路 证明极大线性无关组：a. 先证该组向量线性无关；b. 再证添加一个向量相关。

证明 (1) 任取α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中的rr个线性无关的向量αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir}(满足a.)，只需证明αi,αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i},\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir}线性相关(其中，αi\alpha _i为α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中任一向量。)

先引入一个定理：若α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r可以由β1,β2,⋯ ,βs\beta _1,\beta _2,\cdots ,\beta _s线性表出，且r>sr>s，则α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r线性无关.

下面用该定理证明：α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中任意r+1r+1个向量组线性相关。

α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s的秩为rr⇒\Rightarrow必有一个极大无关组由rr个向量组成，不妨设为α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r.

任取α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中任意r+1r+1个向量αj1,αj2,⋯ ,αjr+1\alpha _{j1},\alpha _{j2},\cdots ,\alpha _{j_{r+1}}

显然满足定理条件：显然αj1,αj2,⋯ ,αjr+1\alpha _{j1},\alpha _{j2},\cdots ,\alpha _{j_{r+1}}可由α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r线性表出，且r+1>rr+1>r

所以，α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中任意r+1r+1个向量组线性相关. 得证.

(2) 根据(1), 只需证明 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 线性无关.

一方面，α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s的秩为rr⇒\Rightarrow必有一个极大无关组由rr个向量组成，不妨设为α1,α2,⋯ ,αr,\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r,

则α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s的任意向量可由α1,α2,⋯ ,αr,\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r,

进而，αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 中的可以由α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r线性表出

另一方面，又α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s中的任何向量都可以由αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 线性表出,

可知**α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r中的可以由αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 线性表出**

综上，α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r与αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 等价.

等价向量组的秩相等，所以αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir}的秩为rr, 故 αi1,αi2,⋯ ,αir\alpha _{i1},\alpha _{i2},\cdots ,\alpha _{ir} 线性无关.

(3) 设向量组为α1,α2,⋯ ,αs\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _s, 它的一个线性无关组为α1,α2,⋯ ,αl,l≤s.\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _l,l\leq s.

a. l=sl=s, 显然是极大线性无关组;

b. l<sl<s, 且从αl+1,⋯ ,αs\alpha_{l+1},\cdots,\alpha{s}中任找一向量放到α1,α2,⋯ ,αl\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _l中线性相关，此时α1,α2,⋯ ,αl\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _l为极大线性无关组;

c. l<sl<s, 且从αl+1,⋯ ,αs\alpha_{l+1},\cdots,\alpha{s}中任找一向量(不妨设为αl+1\alpha_{l+1})放到α1,α2,⋯ ,αl\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _l中仍线性无关, 即α1,α2,⋯ ,αl,αl+1\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _l,\alpha_{l+1}线性无关；

接着从α1,α2,⋯ ,αl,αl+1\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _l,\alpha_{l+1}出发按c.继续扩大，最终必满足a.或b.(不妨设扩充到αr\alpha_r), 此时α1,α2,⋯ ,αr\alpha _1,\alpha _2,\cdots ,\alpha _r为极大线性无关组。