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• 上(下)三角矩阵的乘积与逆

矩阵$A=(a_{ij})$称为上(下)三角形矩阵，如果$i>j($$i<j$)时有$a_{ij}=0$. 试证明：

(1) 两个上(下)三角形矩阵的乘积仍是上(下)三角形矩阵；

(2) 可逆的上(下)三角形矩阵的逆仍是上(下)三角形矩阵；

• 泰勒公式应用: 证明不等式

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数,且 $[0,1]$ 上成立 $|f(x)| \leqslant A, \mid f^{\prime \prime}(x)|$ $\leqslant B$. 证明

$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 A+\frac{1}{2} B, \quad x \in[0,1] \text {. }$

• 泰勒公式应用: K值法证明中值公式

（1）设$f(x)$在$[a,b]$上三次可导，试证：$\exists c\in (a,b)$

$f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f'''(c)(b-a)^{3} .$

(2) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有二阶导数. 试证: $\exists c \in$ $(a, b)$, 使得

$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(c)(b-a)^{3} \text {. }$

• Dirichlet函数与Riemann函数的可积性

(1) 写出Dirichlet函数，并讨论其在$[0,1]$上的可积性(黎曼可积)；

(2) 写出Riemann函数，并讨论其在$[0,1]$上的可积性.

• 定积分的性质

(1) 叙述并证明Holder不等式；

(2) 叙述并证明Schwarz不等式；

(3) 叙述并证明Minkowski不等式.

• 秩一矩阵的性质

思考：秩一矩阵的性质，证明以及应用

(1) 定义

(2) 性质有哪些

(3) 应用的题目

• 级数的Cauchy乘积

利用级数的Cauchy乘积证明：$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!}=1$

• 级数的 A-D 判别方法

(1) 叙述并证明级数的A-D判别法.

(2) 证明：设数列$\{a_n\}$单调趋于0，则对一切实数$x$, 级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sin nx$收敛.

• 函数项级数一致收敛的判别方法

(1) 试总结函数项级数一致收敛的判别方法；

(2) 判断以下函数项级数是否一致收敛

a. $\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n}}$

b. $\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n}$

• 正定矩阵八条性质

叙述并证明正定矩阵的充要条件. (思考一下有多少个？)