上(下)三角矩阵的乘积与逆

• 上(下)三角矩阵的乘积与逆

矩阵$A=(a_{ij})$称为上(下)三角形矩阵，如果$i>j($$i<j$)时有$a_{ij}=0$. 试证明：

(1) 两个上(下)三角形矩阵的乘积仍是上(下)三角形矩阵；

(2) 可逆的上(下)三角形矩阵的逆仍是上(下)三角形矩阵；

思路 (1) 按照乘法定义展开计算；

(2) 利用分块矩阵运算及数学归纳法.

证明 只证上三角形矩阵，下三角形同理可证。

(1) 设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right), \boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)$ 皆为上三角形矩阵, 即当 $i>j$ 时有 $a_{i j}=0$, $b_{i j}=0$. 令 $\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A B}=\left(c_{i j}\right)$, 证明当 $i>j$ 时有 $c_{i j}=0$.

$c_{i j}=a_{i 1} b_{1 j}+a_{i 2} b_{2 j}+\cdots+a_{i, i-1} b_{i-1, j}+a_{i i} b_{i j}+\cdots+a_{i n} b_{n j} .$

它的前 $i-1$ 项中有 $a_{i 1}=a_{i 2}=\cdots=a_{i, i-1}=0$, 而后面的项中有 $b_{i j}=\cdots=b_{n j}=0$, 因此它的每 一项皆为零. 所以 $i>j$ 时 $c_{i j}=0$. 得证.

(2) 对 $n$ 作数学归纳法, $n=1$, 显然. 设 $n-1$ 阶上三角形矩阵的逆矩阵是上三角形矩阵, 对 $A$ 是 $n$ 阶上三角形矩阵来证明它的逆也是上三角形的.将 $A$ 写成如下的分块矩阵:

$\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & \boldsymbol{\alpha} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{A}_{1} \end{array}\right),$

其中 $a_{11} \neq 0, \boldsymbol{A}_{1}$ 是 $n-1$ 阶上三角形可逆矩阵. 由归纳假设, $\boldsymbol{A}_{1}^{-1}$ 仍是上三角形的.作如下 乘积

$\begin{aligned} &\left(\begin{array}{cc} a_{11}^{-1} & \mathbf{0} \\ 0 & \boldsymbol{A}_{1}^{-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a_{11} & \boldsymbol{\alpha} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{A}_{1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & a_{11}^{-1} \boldsymbol{\alpha} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{E}_{n-1} \end{array}\right), \\ &\left(\begin{array}{cc} 1 & -a_{11}^{-1} \boldsymbol{\alpha} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{E}_{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} 1 & a_{11}^{-1} \boldsymbol{\alpha} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{E}_{n-1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 1 & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{E}_{n-1} \end{array}\right)=\boldsymbol{E}_{n}, \end{aligned}$

故

$\boldsymbol{A}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -a_{11}^{-1} \boldsymbol{\alpha} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{E}_{n-1} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} a_{11}^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \boldsymbol{A}_{1}^{-1} \end{array}\right)$

是上三角形的乘积，仍然为上三角形矩阵。