泰勒公式应用: 证明不等式

• 泰勒公式应用: 证明不等式

设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数,且 $[0,1]$ 上成立 $|f(x)| \leqslant A, \mid f^{\prime \prime}(x)|$ $\leqslant B$. 证明

$\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 2 A+\frac{1}{2} B, \quad x \in[0,1] \text {. }$

思路 根据带 Lagrange 余项的 Taylor 公式, 写出$f(0), f(1)$在$c$的展开式，相减消去即可。

证明思路：任取$c \in[0,1]$, 只需证$\left|f^{\prime}(c)\right| \leqslant 2 A+\dfrac{1}{2} B, \quad c \in[0,1] \text {. }$

证 对于任意 $c \in[0,1], f(x)$ 在 $x=c$ 处的带 Lagrange 余项的 Taylor 公式为

$f(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-c)^{2}, \quad x \in[0,1],$

其中 $\xi$ 在 $c$ 与 $x$ 之间,因此 $\xi \in[0,1]$.特别地有

$\begin{aligned} &f(0)=f(c)+f^{\prime}(c)(0-c)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)(0-c)^{2} \\ &f(1)=f(c)+f^{\prime}(c)(1-c)+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)(1-c)^{2} \end{aligned}$

其中 $\xi_{1}, \xi_{2} \in[0,1]$. 将以上两式相减得

$f^{\prime}(c)=f(1)-f(0)-\frac{1}{2}\left[f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)(1-c)^{2}-f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right) c^{2}\right],$

于是由已知条件得

$f^{\prime}(c)\leq |f(1)|+|f(0)|+\frac{1}{2}\left[|f^{\prime \prime}\left(\xi_{2}\right)|(1-c)^{2}+|f^{\prime \prime}\left(\xi_{1}\right)|c^{2}\right],$

$\leq 2A+\dfrac{1}{2}B[(1-c)^2+c^2]$

这里，二次函数$g(c)=(1-c)^2+c^2$，根据二次函数的知识，$\dfrac{1}{2}\leq f(c)\leq 1$

所以，$|f'(c)|\leq 2A+\dfrac{1}{2}B$.