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数学学习笔记

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函数项级数一致收敛的判别方法

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(1) 试总结函数项级数一致收敛的判别方法；

(2) 判断以下函数项级数是否一致收敛

a. ∑n=1n=∞sin⁡xsin⁡nxn\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n}}

b. ∑n=0n=∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n}

解 (1) a.(函数项级数的柯西收敛准则)

函数项级数 ∑n=1∞un(x)\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在 DD 上一致收玫的充分必要条件是: 对于任意给定的 ε>0\varepsilon>0, 存在正整数 N=N(ε)N=N(\varepsilon), 使

∣un+1(x)+un+2(x)+⋯+um(x)∣<ε\left|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_m(x)\right|<\varepsilon

利用柯西收敛准则可以证明Weierstrass判别法

b. (Weierstrass判别法) (魏尔斯特拉斯判别法)

设函数项级数 ∑n=1∞un(x)(x∈D)\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x)(x \in D) 的每一项 un(x)u_n(x) 满足

∣un(x)∣⩽an,x∈D,\left|u_n(x)\right| \leqslant a_n, \quad x \in D,

并且数项级数 ∑n=1∞an\sum_{n=1}^{\infty} a_n 收敛, 则 ∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在 DD 上一致收敛.
证 由于对一切 x∈Dx \in D 和正整数 m>nm>n, 有

∣un+1(x)+un+2(x)+⋯+um(x)∣\left|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_m(x)\right|

⩽∣un+1(x)∣+∣un+2(x)∣+⋯+∣um(x)∣\leqslant\left|u_{n+1}(x)\right|+\left|u_{n+2}(x)\right|+\cdots+\left|u_m(x)\right|

⩽an+1+an+2+⋯+am, \leqslant a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m \text {, }

由a. 和数项级数的 Cauchy 收敛原理, 即得到 ∑n=1∞un(x)\sum_{n=1}^{\infty} u_n(x) 在 DD 上一致收敛.

c. (函数项级数的A-D判别法)

设函数项级数 ∑n=1∞an(x)bn(x)(x∈D)\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)(x \in D) 满足如下两个条件之一, 则 ∑n=1∞an(x)bn(x)\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x) 在 DD 上一致收敛.

NO1. (Abel 判别法) 函数序列 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\} 对每一固定的 x∈Dx \in D 关于 nn 是单调的,且 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\} 在 DD 上一致有界:

∣an(x)∣⩽M,x∈D,n∈N+;\left|a_n(x)\right| \leqslant M, \quad x \in D, \quad n \in \mathbf{N}^{+} ;

同时, 函数项级数 ∑n=1∞bn(x)\sum_{n=1}^{\infty} b_n(x) 在 DD 上一致收玫.
No2. (Dirichlet 判别法) 函数序列 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\} 对每一固定的 x∈Dx \in D 关于 nn 是单调 的, 且 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\} 在 DD 上一致收敛于 0 ; 同时, 函数项级数 ∑n=1∞bn(x)\sum_{n=1}^{\infty} b_n(x) 的部分和序列在 DD 上 一致有界:

∣∑k=1nbk(x)∣⩽M,x∈D,n∈N+.\left|\sum_{k=1}^n b_k(x)\right| \leqslant M, \quad x \in D, \quad n \in \mathbf{N}^{+} .

(2) 判断以下函数项级数是否一致收敛

a. ∑n=1n=∞sin⁡xsin⁡nxn\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n}}

b. ∑n=0n=∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n}

(2) a. 设 an(x)=1n,bn(x)=sin⁡xsin⁡nxa_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}, b_n(x)=\sin x \sin n x, 由于 an(x)a_n(x) 与 xx 无关且单调趋于零, 所以 {an(x)}\left\{a_n(x)\right\} 对固定的 x∈(−∞,+∞)x \in(-\infty,+\infty) 关于 nn 是单调的, 且在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上一致收玫于 零, 同时

∣∑k=1nbk(x)∣=∣cos⁡x2∑k=1n2sin⁡x2sin⁡kx∣=∣cos⁡x2∣⋅∣cos⁡(n+12)x−cos⁡x2∣⩽2,\left|\sum_{k=1}^n b_k(x)\right|=\left|\cos \frac{x}{2} \sum_{k=1}^n 2 \sin \frac{x}{2} \sin k x\right|=\left|\cos \frac{x}{2}\right| \cdot\left|\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\cos \frac{x}{2}\right| \leqslant 2,

由 Dirichlet 判别法, ∑n=1∞sin⁡xsin⁡nxn\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin x \sin n x}{\sqrt{n}} 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上一致收敛.
b. 设 un(x)=x2(1+x2)nu_n(x)=\dfrac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}, 取 ε0=1e2>0\varepsilon_0=\frac{1}{\mathrm{e}^2}>0, 对任意的正整数 NN, 取 m=2n(n>N)m=2 n(n>N) 与 xn=1n∈(−∞,+∞)x_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \in(-\infty,+\infty), 则

∑k=n+1muk(xn)=xn2(1+xn2)n+1+xn2(1+xn2)n+2+⋯+xn2(1+xn2)2n>nxn2(1+xn2)2n>1e2=ε0,\sum_{k=n+1}^m u_k\left(x_n\right)=\frac{x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{n+1}}+\frac{x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{n+2}}+\cdots+\frac{x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{2 n}}>\frac{n x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{2 n}}>\frac{1}{\mathrm{e}^2}=\varepsilon_0,

所以 ∑n=0∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n} 不满足一致收敛的 Cauchy 收敛原理的条件, 由此可知 ∑n=0∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n} 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上非一致收敛.