级数的 A-D 判别方法

• 级数的 A-D 判别方法

(1) 叙述并证明级数的A-D判别法.

(2) 证明：设数列$\{a_n\}$单调趋于0，则对一切实数$x$, 级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\sin nx$收敛.

思路 (1) 利用阿贝尔引理与柯西收敛准则证明；

阿贝尔引理 设
(1) $\left\{a_{k}\right\}$ 为单调数列;
(2) $\left\{B_{k}\right\}\left(B_{k}=\sum_{i=1}^{k} b_{i}, k=1,2, \cdots\right)$ 为有界数列, 即存在 $M>0$, 对一切 $k$, 成立 $\left|B_{k}\right| \leqslant$ $M$, 则

$\left|\sum_{k=1}^{p} a_{k} b_{k}\right| \leqslant M\left(\left|a_{1}\right|+2\left|a_{p}\right|\right)$

柯西收敛原理 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛的充分必要条件是: 对任 意给定的 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N$, 使得

$\left|x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{m}\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{m} x_{k}\right|<\varepsilon$

对一切 $m>n>N$ 成立.
定理结论还可以叙述为: 对任意给定的 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N$, 使得

$\left|x_{n+1}+x_{n+2}+\cdots+x_{n+p}\right|=\left|\sum_{k=1}^{p} x_{n+k}\right|<\varepsilon$

对一切 $n>N$ 与一切正整数 $p$ 成立.

(2) 应用Dirichlet 判别法.

解 (1) 定理内容：

若下列两个条件之一满足，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛：
a. (Abel 判别法) $\left\{a_{n}\right\}$ 单调有界, $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛;
b. (Dirichlet 判别法) $\left\{a_{n}\right\}$ 单调趋于 $0,\left\{\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right\}$ 有界.

证明：

a. 设$|a_n|\leq M$, 由于$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，则对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N$, 使得对于一切 $n>N$ 利 $p \in \mathbf{N}^{+}$, 成立

$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} b_{k}\right|<\varepsilon .$

对 $\sum\limits_{k=n+1}^{n+p} a_{k} b_{k}$ 应用 Abel 引理, 即得

$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_{k} b_{k}\right|<\varepsilon\left(\left|a_{n+1}\right|+2\left|a_{n+p}\right|\right) \leqslant 3 M \varepsilon .$

b. 若 Dirichlet 判别法条件满足, 由于 $\lim\limits _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$, 因此对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 存在 $N$, 使得对于一切 $n>N$, 成立

$\left|a_{n}\right|<\varepsilon \text {. }$

设 $\left|\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}\right| \leqslant M$, 令 $B_{k}=\sum_{i=n+1}^{n+k} b_{i}(k=1,2, \cdots)$, 则

$\left|B_{k}\right|=\left|\sum_{i=1}^{n+k} b_{i}-\sum_{i=1}^{n} b_{i}\right| \leqslant 2 M .$

应用 Abel 引理, 同样可得

$\left|\sum_{k=n+1}^{n+p} a_{k} b_{k}\right| \leqslant 2 M\left(\left|a_{n+1}\right|+2\left|a_{n+p}\right|\right)<6 M \varepsilon$

对一切 $n>N$ 与一切正整数 $p$ 成立.
根据 Cauchy 收敛原理, 即知 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收敛.

(2) a. 当 $x \neq 2 k \pi$ 时,

$2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sum_{k=1}^{n} \sin k x=\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{2 n+1}{2} x,$

于是对一切正整数 $n$,

$\left|\sum_{k=1}^{n} \sin k x\right| \leqslant \frac{1}{\left|\sin \frac{x}{2}\right|},$

由 Dirichlet 判别法, 可知当 $x \neq 2 k \pi$ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x$ 收敛.

b. 由于当 $x=2 k \pi$ 时, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x=$ 0 ,

于是得到对一切实数 $x, \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x$ 收敛.