秩一矩阵的性质

秩一矩阵的性质

思考：秩一矩阵的性质，证明以及应用

(1) 定义

(2) 性质有哪些

(3) 应用的题目

解 (1) 先看一个秩一矩阵的性质

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n \times n$ 矩阵, 秩 $(\boldsymbol{A})=1$ . 证明:

(a) $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right) ; \quad$
(b) $\boldsymbol{A}^{2}=k \boldsymbol{A}$ .

证明 (a) 因秩 $(\boldsymbol{A})$ 为 1 , 必有某个行, 设为第 $i$ 行, 使其他各行都是它的倍数. 设这第 $i$ 行为 $\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ , 而第 1 行, 第 2 行, $\cdots$ , 第 $n$ 行分别是它的 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 倍( 这时 $a_{i}$ 必为 1 $)$ . 于是

\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right) .

(b) 由 (a) 知

\boldsymbol{A}^{2}=\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)

\begin{aligned} &=\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right)\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right) \\ &=\left(a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}\right)\left(\begin{array}{c} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right) \end{aligned}

其中 $k=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots+a_{n} b_{n}$

(2) 应用 (1) 的性质证明：

设 $A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵, 证明: 如果 $A^{l}=O, l \geqslant 2$ , 那么 $A^{2}=O$ .

证明因 $A^{l}=0,\left|A^{l}\right|=|A|^{l}=0$ , 故 $|A|=0, A$ 不是满秩.

而 $A$ 是 $2 \times 2$ 矩阵, 所以，秩 $(A)<2$ .

若秩 $(A)=0$ , 即 $A=O$ . 这时当然有 $A^{2}=O$ .

若秩 $(A)=1$ , 则由 (1) 有 $A^{2}=k A$ , 可知 $A^{l}=k^{l-1} A=O$ . 因为 $A \neq O$ , 故 $k=0$ , 即有 $A^{2}=0$ .

(3) 其他秩一矩阵的性质：读者自行证明.

$\beta^{T} \alpha=\operatorname{tr}(A)$

$A^{2}=\operatorname{tr}(A) A \quad A^{k}=[\operatorname{tr}(A)]^{k-1} A$

$A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的秩 $r(A)=n-1$ ，则存在常数 $k$ ，使得 $\left(A^{*}\right)^{2}=k A^{*}$ ，此时 $A^{*}$ 是秩1矩阵

$A=\left(a_{i j}\right)_{2 \times 2}$ ，则存在 $l \in N^{*}$ ，使得 $A^{l}=0$ ，则 $A^{2}=0$

$\operatorname{tr}(A) \neq 0 ， A$ 的特征值为 $0\left(\mathrm{n}-1\right.$ 重) $， \operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}$ (1重)

$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i} b_{i}=0$ ，则 $A$ 的特征值为 0 ( $\mathrm{n}$ 重)

提示 $\left|\lambda E-\left[\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}b_{1} & b_{2} & \cdots & b_{n}\end{array}\right]\right|=\lambda^{n-1}(\lambda-\operatorname{tr}(A))$

$A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 正定， $\alpha$ 是 $\mathrm{n}$ 维的非零实列向量， $B=A \alpha \alpha^{T}$ 的特征值为 0 ( $\mathrm{n}-1$ 重) ， $\alpha^{T} A \alpha$ (1重)