泰勒公式应用: K值法证明中值公式

• 泰勒公式应用: K值法证明中值公式

（1）设$f(x)$在$[a,b]$上三次可导，试证：$\exists c\in (a,b)$

$f(b)=f(a)+f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)+\frac{1}{24} f'''(c)(b-a)^{3} .$

(2) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有二阶导数. 试证: $\exists c \in$ $(a, b)$, 使得

$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(c)(b-a)^{3} \text {. }$

证明 （1）k值法.

设$k$为使下列等式成立的实数，

$f(b)-f(a)-f^{\prime}\left(\frac{a+b}{2}\right)(b-a)-\frac{1}{24} k(b-a)^{3}=0 .$

这时, 我们的问题归为证明: $\exists c \in(a, b)$, 使得$k=f^{\prime \prime \prime}(c)$.

令

$g(x) = f(x)-f(a)-f^{\prime}\left(\frac{a+x}{2}\right)(x-a)-\frac{k}{24}(x-a)^{3}.$

则 $g(a)=g(b)=0$.

根据 Rolle 定理, $\exists \xi \in(a, b)$, 使得 $g^{\prime}(\xi)=0$, 即 :

$f^{\prime}(\xi)-f^{\prime}\left(\frac{a+\xi}{2}\right)-f^{\prime \prime}\left(\frac{a+\xi}{2}\right) \frac{(\xi-a)}{2}-\frac{k}{8}(\xi-a)^{2}=0\quad (A)$

这是关于 $k$ 的方程, 注意到 $f^{\prime}(\xi)$ 在点 $\dfrac{a+\xi}{2}$ 处的 Taylor 公式:

$f^{\prime}(\xi)=f^{\prime}\left(\frac{a+\xi}{2}\right)+f^{\prime \prime}\left(\frac{a+\xi}{2}\right) \frac{(\xi-a)}{2}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime \prime}(c)\left(\frac{\xi-a}{2 \cdot}\right)^{2},(B)$

其中 $c \in(a, b)$. 比较 (A)、(B) 可得$k=f^{\prime \prime \prime}(c)$. 证毕.

（2）对函数 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 利用(1)结果, 得

$F(b)=F(a)+F^{\prime}\left(\dfrac{a+b}{2}\right)(b-a)+\dfrac{1}{24} F'''(c)(b-a)^{3}$

由于$F(b)=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t ，F(a)= 0, F'(x)=f(x)$

得到：

$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=(b-a) f\left(\frac{a+b}{2}\right)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(c)(b-a)^{3} \text {. }$