级数的Cauchy乘积

• 级数的Cauchy乘积

利用级数的Cauchy乘积证明：$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n!}=1$

思路： 什么是Cauchy乘积？

对于两个数列相乘的级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}$

将每一项都写出来
$\begin{array}{llllll}a_{1} b_{1} & a_{1} b_{2} & a_{1} b_{3} & a_{1} b_{4} & \ldots\end{array}$
$\begin{array}{lllllll}a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & a_{2} b_{3} & a_{2} b_{4} & \cdots\end{array}$
$\begin{array}{lllll}a_{3} b_{1} & a_{3} b_{2} & a_{3} b_{3} & a_{3} b_{4} & \ldots\end{array}$
$a_{4} b_{1} \quad a_{4} b_{2} \quad a_{4} b_{3} \quad a_{4} b_{4} \quad \cdots$

按照对角线进行排列

将每个对角线单独写出来，作为一个新的数列

$c_{1}=a_{1} b_{1}$,
$c_{2}=a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}$,

$\cdots$

$c_{n}=\sum\limits_{i+j=n+1} a_{i} b_{j}=a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}$,
则我们称

$\sum_{n=1}^{\infty} c_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots+a_{n} b_{1}\right)$

为级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的 Cauchy 乘积.

我们可以将上边的过程用一个公式表示：

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} c_{n}$

解 设 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{n !} \cdot \sum\limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n}}{n !}=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_{n}$, 则 $c_{0}=1$, 且当 $n \geqslant 1$ 时, 应用Cauchy乘积与二项式展开

$c_{n}=\sum_{i+j=n} \frac{(-1)^{j}}{i ! \cdot j !}=\frac{1}{n !} \sum_{i+j=n} \frac{n !}{i ! \cdot j !}(-1)^{j}=\frac{1}{n !}(1-1)^{n}=0$

所以

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n !}=1 .$