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计算数学类期刊

个人投稿期刊汇总（分区为中科院2022年版）

• Stolz定理及其应用

（1）叙述Stolz定理，并证明;

（2）用Stolz定理计算：$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\log_a n}{n} (a>1)$.

• 最小公倍式

多项式$m(x)$称为$f(x)$与$g(x)$的最小公倍式(记：$[f(x),g(x)]=m_0(x)$,$m_0(x)$首系为1)，如果满足：

(1) $f(x)|m(x), g(x)|m(x)$;

(2) $f(x)$与$g(x)$的任一公倍式都是$m(x)$的倍式.

证明：$[f(x),g(x)]=\dfrac{f(x)g(x)}{(f(x),g(x))}$. ($f(x),g(x)首系为1$).

• 单调有界定理的证明

利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必收敛。

• 数列与子列的关系

证明以下两个命题：

(1) $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n=a\Longrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_{n_k}=a$, 其中$\{x_{n_k}\}$是$\{x_{n}\}$的任意子列。

(2) $\{x_{n}\}$是单调数列，则$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n=a\Longleftrightarrow \lim\limits_{k\rightarrow+\infty}x_{n_k}=a$, 其中$\{x_{n_k}\}$是$\{x_{n}\}$的某个子列。

• 行列式求导公式与一类行列式的计算

(1) 证明：

$\dfrac{d}{dt}\left| \begin{matrix} a_{11}\left( t \right)& a_{12}\left( t \right)& \cdots& a_{1n}\left( t \right)\\ a_{21}\left( t \right)& a_{22}\left( t \right)& \cdots& a_{2n}\left( t \right)\\ \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}\left( t \right)& a_{n2}\left( t \right)& \cdots& a_{nn}\left( t \right)\\ \end{matrix} \right|=\sum_{j=1}^n{\left| \begin{matrix} a_{11}\left( t \right)& \cdots& \dfrac{d}{dt}a_{1j}\left( t \right)& \cdots& a_{1n}\left( t \right)\\ a_{21}\left( t \right)& \cdots& \dfrac{d}{dt}a_{2j}\left( t \right)& \cdots& a_{2n}\left( t \right)\\ \vdots& & \vdots& & \vdots\\ a_{n1}\left( t \right)& \cdots& \dfrac{d}{dt}a_{nj}\left( t \right)& \cdots& a_{nn}\left( t \right)\\ \end{matrix} \right|}$

(2) 计算如下行列式：

$\left| \begin{matrix} \lambda& a& a& a& \cdots& a\\ b& \alpha& \beta& \beta& \cdots& \beta\\ b& \beta& \alpha& \beta& \cdots& \beta\\ b& \beta& \beta& \alpha& \cdots& \beta\\ \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& & \vdots\\ b& \beta& \beta& \beta& \cdots& \alpha\\ \end{matrix} \right|$

• 叙述并证明闭区间套定理

叙述并证明闭区间套定理（用单调有界原理证明）

定理： 如果$\{[a_n,b_n]\}$是一个闭区间套，则存在唯一实数$\xi$属于所有闭区间$[a_n,b_n]$, 且有：

$\xi=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n$.

• 连续与间断（Riemann函数）

黎曼函数定义如下：

$R\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{p},\ x=\dfrac{q}{p}\left( p\in N^+,q\in Z(不含{0}),p,q互素 \right)\\ 1,\ x=0,\\ 0,\ x\text{是无理数}\\ \end{array}\right.$

证明：（1）$R(x)$在任意点的极限存在，且极限为0；

​ (2) 在一切无理点连续，有理点不连续（为可去间断点）.

• 几个闭区间一致连续的结论

(1)一致连续定理（又称Cantor定理）：
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在闭区间$[a,b]$上一致连续。

(2)若函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续，且$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A$(有限数)，则它在$[a,+\infty)$上一致连续。（并且：$f(x)$在$[a,+\infty)$上有界）

• 连续与一致连续

证明: $f(x)=\dfrac{1}{x}$在$(0,1)$上连续，但非一致连续。