最小公倍式

• 最小公倍式

多项式$m(x)$称为$f(x)$与$g(x)$的最小公倍式(记：$[f(x),g(x)]=m_0(x)$,$m_0(x)$首系为1)，如果满足：

(1) $f(x)|m(x), g(x)|m(x)$;

(2) $f(x)$与$g(x)$的任一公倍式都是$m(x)$的倍式.

证明：$[f(x),g(x)]=\dfrac{f(x)g(x)}{(f(x),g(x))}$. ($f(x),g(x)首系为1$).

证： 记$m(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{(f(x),g(x))}$

显然（1）$f(x)|m(x), g(x)|m(x)$成立, 只需证明（2）成立。

设$h(x)$是$f(x)$与$g(x)$的公倍式($f|h,g|h$)，只需证明$m(x)|h(x)$.

实际上，$\left.\dfrac{f(x)}{(f(x),g(x))}\right|\dfrac{h(x)}{(f(x),g(x))}$, $\left.\dfrac{g(x)}{(f(x),g(x))}\right|\dfrac{h(x)}{(f(x),g(x))}$

且$(\dfrac{f(x)}{(f(x),g(x))},\dfrac{g(x)}{(f(x),g(x))})=1$

$\Longrightarrow \left.\dfrac{f(x)g(x)}{(f(x),g(x))^2}\right|\dfrac{h(x)}{(f(x),g(x))}$

$\Longrightarrow \left.\dfrac{f(x)g(x)}{(f(x),g(x))}\right|h(x)$, 得证。