连续与一致连续

• 连续与一致连续

证明: $f(x)=\dfrac{1}{x}$在$(0,1)$上连续，但非一致连续。

思路： 考察连续与一致连续的定义：

(1) $f(x)$在$x_0$连续：$\forall \varepsilon >0,\exists \delta \left( x_0,\varepsilon \right) >0,$

$\forall x\in X,|x-x_0|<\delta ,\text{有|}f\left( x \right) -f\left( x_0 \right) |<\varepsilon ;$

(2)$f(x)$​在区间$X$​上一致连续：$\forall \varepsilon >0,\exists \delta \left( \varepsilon \right) >0,$

$\forall x',x''\in X,|x'-x''|<\delta ,\text{有|}f\left( x' \right) -f\left( x'' \right) |<\varepsilon .$

(3)一致连续的一个充要条件：$\forall \{x'_n\}和\{x''_n\},只要\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x'_n-x''_n)=0$

就有$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=0$成立.

逆否命题：不一致连续的充要条件:$\exists \{x'_n\}和\{x''_n\},且\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x'_n-x''_n)=0$

但是$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(f(x'_n)-f(x''_n))\neq 0.$

解：(1)连续：$\forall x_0\in (0,1),\forall\varepsilon>0$

要找$\delta$, 当$|x-x_0|<\delta$时，$\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}\right|=\left|\dfrac{x-x_0}{xx_0}\right|<\varepsilon$

若限制$|x-x_0|<\dfrac{x_0}{2}$, 则$x>\dfrac{x_0}{2}$,$xx_0>\dfrac{x_0^2}{2}$,根据上式得到$|x-x_0|<\dfrac{x_0^2}{2}\varepsilon$(作为限制条件)

这样我们就找到了$\delta=\min\{\dfrac{x_0}{2},\dfrac{x_0^2}{2}\},$（两个限制条件的最小值）当$|x-x_0|<\delta$时，$\left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x_0}\right|=\left|\dfrac{x-x_0}{xx_0}\right|<\varepsilon$, 所以$f(x)$在$(0,1)$上连续。

（2）非一致连续. 利用思路中(3)的逆否命题:

取$x'_n=\dfrac{1}{2n}, x''_n=\dfrac{1}{n}$, 显然$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(x'_n-x''_n)=0$,

但是$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(f(x'_n)-f(x''_n))=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(2n-n)=\infty.$

所以$f(x)$在$(0,1)$上非一致连续。