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叙述并证明闭区间套定理（用单调有界原理证明）

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叙述并证明闭区间套定理（用单调有界原理证明）

定理： 如果{[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}是一个闭区间套，则存在唯一实数ξ\xi属于所有闭区间[an,bn][a_n,b_n], 且有：

ξ=lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn\xi=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n.

证明：（1）闭区间套定义：i. [an+1,bn+1]⊂[an,bn][a_{n+1},b_{n+1}]\subset [a_{n},b_{n}]; ii. lim⁡n→∞(bn−an)=0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)=0.

(2) 存在性。 有i知：a1≤⋯≤an<bn≤bn−1≤⋯≤b1;a_1\leq\cdots\leq a_n<b_n\leq b_{n-1}\leq \cdots\leq b_1;

{an}\{a_n\}单调递增有上界，{bn}\{b_n\}单调递减有下界，由单调有界原理：两者均收敛。

设lim⁡n→∞an=ξ\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\xi, 只需证：lim⁡n→∞bn=ξ\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\xi（由确界原理，易知：ξ∈[an,bn]\xi\in[a_n,b_n]）

实际上，lim⁡n→∞bn=lim⁡n→∞(bn−an)+lim⁡n→∞an=ξ\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}(b_n-a_n)+\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\xi(这里用到ii).

(3)唯一性。若还存在an≤η≤bna_n\leq\eta\leq b_n满足题目，取n→∞n\rightarrow\infty, 根据迫敛性

η=lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=ξ\eta=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}b_n=\xi得证。