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数学学习笔记

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Stolz定理及其应用

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  • Stolz定理及其应用

（1）叙述Stolz定理，并证明;

（2）用Stolz定理计算：lim⁡n→∞log⁡ann(a>1)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\log_a n}{n} (a>1).

思路： Stolz定理：设{yn}\{y_n\}是严格增的无穷大量，且

lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=a(a为常数，+∞与−∞)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=a(a为常数，+\infty与-\infty)

那么有，lim⁡n→∞xnyn=a.\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a.

  • Stolz定理求数列极限很有用。

  • 证明思路，将aa分情况讨论，用定义去证明。

证明：（1）Case1. a=0a=0时

lim⁡n→∞xn−xn−1yn−yn−1=0⟹∣xn−xn−1yn−yn−1∣<ε(∃N,n>N)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}=0\Longrightarrow \left|\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}\right|<\varepsilon(\exists N,n>N)

⟹∣xn−xn−1∣<ε(yn−yn−1)\Longrightarrow \left|x_n-x_{n-1}\right|<\varepsilon({y_n-y_{n-1}})

⟹∣xn−xN∣<ε(yn−yn−1)+ε(yn−1−yn−2)+⋯+ε(yN+1−yN)<ε(yn−yN)⟹∣xnyn−xNyn∣<ε(1−yNyn)<ε(yN>0)⟹∣xnyn∣<ε(xNyn→0,n→0)\Longrightarrow \left|x_n-x_{N}\right|<\varepsilon({y_n-y_{n-1}})+\varepsilon({y_{n-1}-y_{n-2}})+\cdots+\varepsilon({y_{N+1}-y_{N}})\\ <\varepsilon({y_{n}-y_{N}})\\ \Longrightarrow \left|\dfrac{x_n}{y_n}-\dfrac{x_N}{y_n}\right|<\varepsilon(1-\dfrac{y_{N}}{y_n})<\varepsilon(y_N>0)\\ \Longrightarrow \left|\dfrac{x_n}{y_n}\right|<\varepsilon(\dfrac{x_N}{y_n}\rightarrow 0, n\rightarrow 0)\\

Case2. a≠0a\neq0时(常数)，要证：lim⁡n→∞xnyn=a⟹lim⁡n→∞xn−aynyn=0⟹令xn′=xn−ayn\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x_n}{y_n}=a\Longrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{x_n-ay_n}{y_n}=0 \Longrightarrow 令x_n^{'}=x_n-ay_n根据Case1 得证。

Case3. a=+∞a=+\infty时, 根据极限定义，取ε=1,∀n>N\varepsilon=1,\forall n>N, 有 xn−xn−1yn−yn−1>1⟹xn−xn−1>yn−yn−1\dfrac{x_n-x_{n-1}}{y_n-y_{n-1}}>1\Longrightarrow x_n-x_{n-1}>y_n-y_{n-1}

所以，{xn}\{x_n\}也是严格增的无穷大量，对ynxn\dfrac{y_n}{x_n}用case1结果, 得到：

lim⁡n→∞ynxn=lim⁡n→∞yn−yn−1xn−xn−1=0\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{y_n}{x_n}=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{y_n-y_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}=0

⟹lim⁡n→∞ynxn=+∞\Longrightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{y_n}{x_n}=+\infty.

a=+∞a=+\infty同样可证。

（2）lim⁡n→∞log⁡ann=lim⁡n→∞log⁡an−log⁡a(n−1)n−(n−1)\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\log_a n}{n} =\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\dfrac{\log_a n-\log_a {(n-1)}}{n-(n-1)}

=lim⁡n→∞log⁡an(n−1)=0.=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\log_a \dfrac{n} {(n-1)}=0.