几个闭区间一致连续的结论

• 几个闭区间一致连续的结论

(1)一致连续定理（又称Cantor定理）：
若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则它在闭区间$[a,b]$上一致连续。

(2)若函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上连续，且$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A$(有限数)，则它在$[a,+\infty)$上一致连续。（并且：$f(x)$在$[a,+\infty)$上有界）

思路 （1）利用反证法证明，用到不一致连续的充要条件>>（点这里）和致密性定理（又称Bolzano-Weierstrass定理）：有界数列必有收敛的子列。

(2) 根据定义将区间拆分为闭区间和另一个区间。用到函数极限的柯西定理：

$f(x)$极限存在且有限$\Leftrightarrow$$\forall \varepsilon >0, \exists X,\forall x^{'},x^{''}>X,|f(x^{'})-f(x^{''})|<\varepsilon.$

证明 （1）反证法. 假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上不一致连续，根据不一致连续的充要条件,

$\exists \varepsilon_0>0及 \{x'_n\}, \{x''_n\},且|x'_n-x''_n|<\dfrac{1}{n},n=1,2,3,\cdots$

但是$|f(x'_n)-f(x''_n)|\geq \varepsilon_0.$

$\{x_n^{'}\}$有界$\Longrightarrow\exists 子列\{x_{n_k}^{'}\}，s.t.\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}^{'}=\xi$

再取$\{x_n^{'’}\}$的子列$\{x_{n_k}^{''}\}$（与$\{x_{n_k}^{'}\}$有相同指标，且$|x'_{n_k}-x''_{n_k}|<\dfrac{1}{n_k}$

$\Longrightarrow\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}^{''}=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}^{'}+(x_{n_k}^{''}-x_{n_k}^{'})$$=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}x_{n_k}^{'}=\xi$

$\Longrightarrow\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k}^{'})=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}f(x_{n_k}^{''})=\xi$ ($f(x)$在点$\xi$连续)

$\Longrightarrow\lim\limits_{k\rightarrow\infty}(f(x_{n_k}^{'})-f(x_{n_k}^{''}))=\xi$

这与$|f(x'_n)-f(x''_n)|\geq \varepsilon_0$矛盾。

(2) (i)先证明有界。

a. $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A$$\Longrightarrow 取 \varepsilon=1,\exist X>0,x>X,s.t.|f(x)-A|<1$

$\Longrightarrow A-1<f(x)<A+1$

b. $f(x)$在区间$x\in[a,X]$上连续，必有界($|f(x)|<B$)

只需取$M=\max \{B,A+1\},m=\min\{-B,A-1\}$

便有：$m<f(x)<M, \forall x\in[a,+\infty)$.

(ii)再证一致连续性.用到函数极限的柯西定理：

a. $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=A\Leftrightarrow$$\forall \varepsilon >0, \exists X,\forall x^{'},x^{''}>X,|f(x^{'})-f(x^{''})|<\varepsilon.$

b. $f(x)$在区间$x\in[a,X]$上连续，根据(1), 得到一致连续，根据定义：

$\exist \delta \in(0,1), \forall x^{'},x^{''}\in[a,X]$$当|x'-x''|<\varepsilon,|f(x^{'})-f(x^{''})|<\varepsilon$

综上，对一切$x\in[a,+\infty)$,当$|x'-x''|<\varepsilon,|f(x^{'})-f(x^{''})|<\varepsilon$,得证.