单调有界定理的证明

• 单调有界定理的证明

利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必收敛。

证： Cauchy收敛原理: 数列$\{x_n\}$收敛$\Longleftrightarrow$$\forall \varepsilon>0,\exists N\in N^*,s.t. n,m>N$时$|x_n-x_m|<\varepsilon$ .

反证法. 不妨设$x_n$单调递增有上界，假设它不收敛，根据 Cauchy收敛原理，$\exists \varepsilon_0>0,\forall N\in N^*(取N_1=1),$$\exists m_1>n_1>N_1$使得$x_{m_1}-x_{n_1}>\varepsilon_0$ ;

$取N_2=m_1,$$\exists m_2>n_2>N_2$使得$x_{m_2}-x_{n_2}>\varepsilon_0$ ;

$\cdots\cdots$

$取N_k=m_{k-1},$$\exists m_k>n_k>N_k$使得$x_{m_k}-x_{n_k}>\varepsilon_0$ ;

$\cdots\cdots$

$\Longrightarrow x_{m_k}-x_{n_1}>k\varepsilon_0$且$\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}k\varepsilon_0=+\infty$

$\Longrightarrow \{x_n\}$无上界，矛盾。