数列与子列的关系

• 数列与子列的关系

证明以下两个命题：

(1) $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n=a\Longrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_{n_k}=a$, 其中$\{x_{n_k}\}$是$\{x_{n}\}$的任意子列。

(2) $\{x_{n}\}$是单调数列，则$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n=a\Longleftrightarrow \lim\limits_{k\rightarrow+\infty}x_{n_k}=a$, 其中$\{x_{n_k}\}$是$\{x_{n}\}$的某个子列。

证明： （1）根据数列极限定义：$\forall \varepsilon>0,\exists N,s.t. n>N$时，$|x_n-a|<\varepsilon$.

取$K=N$, 当$k>K$时，$n_k>k>N$, 有$|x_{n_k}-a|<\varepsilon$. 得证.

**注：**此命题的逆否命题：$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_{n_k}^{(1)}\neq\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_{n_k}^{(2)} \Longrightarrow \{x_n\}$发散，可以用来判断数列发散。

（2）$\Longrightarrow)$ 根据(1), 显然成立。

$\Longleftarrow)$ 不妨设$\{x_n\}$单调递增，$\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}x_{n_k}=a$

根据定义（结合单调性）：$\forall \varepsilon>0,\exists K,s.t. k>K$时，$-\varepsilon<x_{n_k}-a\leq 0$.

取$N=n_{K+1},n>N$, $\exists M>K+1, s.t. n_{K+1}<n<n_M$(目的：用单调性)

$-\varepsilon<x_{n_{K+1}}<x_n-a<x_M-a\leq 0$, $\therefore \lim\limits_{n\rightarrow+\infty}x_n=a$.