YanTuMath

• 实对称矩阵正定的情形

(1) 设$A$是实对称矩阵，证明：当实数$t$充分大之后，$tE+A$是正定矩阵；

(2) $A$是一实矩阵，证明：$秩(AA^T)=秩(A)$.

最近用mathjax 配置的数学公式渲染在hexo博客内无法显示，所以从网上搜索许多教程，发现如下教程配置的数学公式比较美观，加载速度还快。

作为计算数学专业，在对微分方程算法求解时，经常会用到矩阵的运算，特别是稀疏矩阵、对称矩阵和对角矩阵的运算，本篇文章旨在介绍用spdiags函数构建稀疏的三对角、五对角矩阵.

• 在FreeFEM++中，分段函数是由不同的表达式组成的函数，每个表达式定义了函数在定义域上的一个子区间内的行为。这些子区间可以重叠，并且可以使用不同的函数来定义每个子区间。下面将介绍如何在FreeFEM++中编程实现分段函数。

  A. 假设我们要定义一个分段函数f(x)，其定义域为R，并且在$x\leq 0.5$时，$f(x)=x^2$；在$x>0.5$时，$f(x)=x$。以下是一种实现方法：

  1 2 3

  //分段函数的生成 //f=(条件 ？ 满足输出 : 否则输出) f=(x<=0.5 ? x^2 : x);

  B. 多分段实例: 并且在$x\leq 0.5$时，$f(x)=x^2$；在$0.5<x\leq 1$时，$f(x)=x-1$; 在$x>1$时，$f(x)=x$。

  1 2 3

  //多分段函数的生成 //f=(条件1 ？ 满足输出1 : (条件2 ？ 满足输出2 : 否则输出))，依次类推 f=(x<=0.5 ? x^2 : （0.5<x<=1 ? x-1 : x);

Matlab编程——meshgrid函数：网格节点生成；三维立体图（函数）绘制

• 用法
  　　[X,Y]=meshgrid(x,y) %生成网格节点
  [X,Y]=meshgrid(x)是[X,Y]=meshgrid(x,x)简写
  [X,Y,Z]=meshgrid(x,y,z)生成三维数组，可用来计算三变量的函数和绘制三维立体图;

Cauchy 中值定理的应用

设$f(x)$在$[1,+\infty)$上连续，在$(1,+\infty)$上可导，已知函数$e^{-x^2}f'(x)$在$(1,+\infty)$上有界，证明函数$xe^{-x^2}f(x)$在$(1,+\infty)$上有界.

Github有什么用？

Github里边有很多的开源代码，特别是对研究生等研究群体比较使用。你可以用来搜索你需要的代码研究，你也可以建立仓库，分享自己的代码。

Github无法使用？

在国内访问Github，有时候根本无法访问，总是出现网页错误。或者是多次访问进去网页了，想下载一个代码，等ing，太慢了，还时不时下载失败。那么，如何解决这个问题呢？

Github访问工具

下面给大家带来一个简单的方法，亲测有效！

• 关于矩阵的几个常用的结论

证明以下结论：

(1) 秩$(A+B)\leq$秩$(A)+$秩$(B)$;

(2) $A,B$均为$n\times n$矩阵，如果$AB=O$, 那么

秩$(A)+$秩$(B)\leq n$;

(3) $A$为$n\times n$矩阵, 证明：$|A^*|=|A|^{n-1}$,这里$n\geq 2$;

(4) $A$为$n\times n$矩阵, 这里$n\geq 2$, 证明：

$\text { 秩 }\left(A^{*}\right)= \begin{cases}n, & \text { 秩 }(\boldsymbol{A})=n, \\ 1, & \text { 秩 }(\boldsymbol{A})=n-1, \\ 0, & \text { 秩 }(\boldsymbol{A})<n-1 .\end{cases}$

(5) $A,B$分别为$n\times m$和$m\times n$矩阵, 证明：

$(i)\left| \begin{matrix} E_m& B\\ A & E_n\\ \end{matrix} \right|=|E_n-AB|=|E_m-BA|$

(ii) $|\lambda E_n-AB|=\lambda^{n-m}|\lambda E_m-BA|$.

• 多项式在实数域/复数域上的因式分解及应用

（1）将多项式$x^n-1$在实数域上因式分解;

（2）如果$(x^2+x+1)|f_1(x^3)+xf_2(x^3)$, 证明$(x-1)|f_1(x), (x-1)|f_2(x)$.