Cauchy 中值定理的应用

Cauchy 中值定理的应用

设$f(x)$在$[1,+\infty)$上连续，在$(1,+\infty)$上可导，已知函数$e^{-x^2}f'(x)$在$(1,+\infty)$上有界，证明函数$xe^{-x^2}f(x)$在$(1,+\infty)$上有界.

思路 本题利用 Cauchy 中值定理证明；

Cauchy 中值定理： 设函数 $f(x), g(x)$ 满足
(1)在闭区间 $[a, b]$ 上连续；
(2)在开区间 $(a, b)$ 内可导；
(3)对任意 $x \in(a, b) ， g^{\prime}(x) \neq 0$ ，
那么在 $(a, b)$ 内至少有一点 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$ 成立；

证 设 $\left|e^{-x^{2}} f^{\prime}(x)\right| \leqslant M, x \in(1,+\infty)$.

首先对于函数 $\mathrm{e}^{-x^{2}} f(x), x \in(1,+\infty)$, 应用 Cauchy 中值定理, 可以证明它是有界的:

$\begin{aligned} \left|\dfrac{f(x)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}\right| & \leqslant\left|\dfrac{f(x)-f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}\right|+\left|\dfrac{f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}\right|<\left|\dfrac{f(x)-f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}-\mathrm{e}}\right|+\dfrac{|f(1)|}{\mathrm{e}} \\ &=\left|\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{2 \xi \mathrm{e}^{\xi^{2}}}\right|+\dfrac{|f(1)|}{\mathrm{e}}<\left|\dfrac{f^{\prime}(\xi)}{2 \mathrm{e}^{\xi^{2}}}\right|+\dfrac{|f(1)|}{\mathrm{e}} \leqslant \dfrac{M}{2}+\dfrac{|f(1)|}{\mathrm{e}}, \end{aligned}$

其中 $\xi \in(1, x)$. 进一步, 对于函数 $x \mathrm{e}^{-x^{2}} f(x), x \in(1,+\infty)$, 也有

$\left|\dfrac{x f(x)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}\right| \leqslant\left|\dfrac{x f(x)-f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}\right|+\left|\dfrac{f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}}\right|<\left|\dfrac{x f(x)-1 \cdot f(1)}{\mathrm{e}^{x^{2}}-\mathrm{e}}\right|+\dfrac{|f(1)|}{\mathrm{e}}$

$\begin{aligned} &=\left|\dfrac{\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)}{2 \xi e^{\xi^{2}}}\right|+\dfrac{|f(1)|}{\mathrm{e}}<\left|\frac{f^{\prime}(\xi)}{2 \mathrm{e}^{\xi^{2}}}\right|+\left|\dfrac{f(\xi)}{2 \mathrm{e}^{\xi^{2}}}\right|+\frac{|f(1)|}{\mathrm{e}} \\ &<\dfrac{3 M}{4}+\frac{3|f(1)|}{2 \mathrm{e}} . \end{aligned}$