多项式在实数域/复数域上的因式分解及应用

（1）将多项式 $x^n-1$ 在实数域上因式分解;

（2）如果 $(x^2+x+1)|f_1(x^3)+xf_2(x^3)$ , 证明 $(x-1)|f_1(x), (x-1)|f_2(x)$ .

思路： (1) 先在复数域上分解，然后将其中的多个因式（一般两个）乘开，变成实多项式。

（2）根据 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ , 只需证： $f_1(1)=0,f_2(1)=0$ .

证： (1) 先在复数域上分解：

$x^n-1=(x-1)(x-\varepsilon)(x-\varepsilon^2)\cdots(x-\varepsilon^{n-1})$ ,

其中， $\varepsilon=\cos\dfrac{2\pi}{n}+i\sin\dfrac{2\pi}{n}$ .

容易验证： $\varepsilon^n=1, \varepsilon^k+\varepsilon^{n-k}=2\cos\dfrac{2k\pi}{n}$

然后，发现

$(x-\varepsilon)(x-\varepsilon^{n-1})=x^2-(\varepsilon+\varepsilon^{n-1})x+1=x^2-2\cos\dfrac{2\pi}{n}x+1$

为实多项式。

所以，在复数域的展开为：

$n$ 为奇数时， $x^n-1=(x-1)(x^2-2\cos\dfrac{2\pi}{n}x+1)\cdots(x^2-2\cos\dfrac{(n-1)\pi}{n}x+1)$
n为偶数时， $x^n-1=(x-1)(x+1)(x^2-2\cos\dfrac{2\pi}{n}x+1)\cdots(x^2-2\cos\dfrac{(n-2)\pi}{n}x+1)$

(2) $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=(x-1)(x-\varepsilon)(x-\varepsilon^2)$

这里， $\varepsilon=\cos\dfrac{2\pi}{3}+i\sin\dfrac{2\pi}{3}, \varepsilon^3=1$

$(x^2+x+1)|f_1(x^3)+xf_2(x^3)$

$\Longrightarrow f_1(x^3)+xf_2(x^3)=q(x)(x^2+x+1)=q(x)(x-\varepsilon)(x-\varepsilon^2)$

$\Longrightarrow f_1(1)+\varepsilon f_2(1)=0,$ $f_1(1)+\varepsilon^2f_2(1)=0$

$\Longrightarrow f_1(1)=0,f_2(1)=0.$