关于矩阵的几个常用的结论

• 关于矩阵的几个常用的结论

证明以下结论：

(1) 秩$(A+B)\leq$秩$(A)+$秩$(B)$;

(2) $A,B$均为$n\times n$矩阵，如果$AB=O$, 那么

秩$(A)+$秩$(B)\leq n$;

(3) $A$为$n\times n$矩阵, 证明：$|A^*|=|A|^{n-1}$,这里$n\geq 2$;

(4) $A$为$n\times n$矩阵, 这里$n\geq 2$, 证明：

$\text { 秩 }\left(A^{*}\right)= \begin{cases}n, & \text { 秩 }(\boldsymbol{A})=n, \\ 1, & \text { 秩 }(\boldsymbol{A})=n-1, \\ 0, & \text { 秩 }(\boldsymbol{A})<n-1 .\end{cases}$

(5) $A,B$分别为$n\times m$和$m\times n$矩阵, 证明：

$(i)\left| \begin{matrix} E_m& B\\ A & E_n\\ \end{matrix} \right|=|E_n-AB|=|E_m-BA|$

(ii) $|\lambda E_n-AB|=\lambda^{n-m}|\lambda E_m-BA|$.

思路 (1) 将$A,B$写成列向量，根据线性表出秩的关系证明；

(2) 将$B$写成列向量，根据线性方程组解的关系证明；

(3) 利用$AA^*=|A|E$证明；

(4) 根据(3)结论证明；

(5) 利用分块矩阵性质证明.

证：

(1) 令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{A}_{1} \boldsymbol{A}_{2} \cdots \boldsymbol{A}_{n}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{B}_{1} \boldsymbol{B}_{2} \cdots \boldsymbol{B}_{n}\right), \boldsymbol{A}_{i}, \boldsymbol{B}_{j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 都是列向量. $A+B=\left(A_{1}+B_{1} A_{2}+B_{2} \cdots A_{n}+B_{n}\right)$, 它的每个列向量都可由列向量组 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}, B_{1}$, $B_{2}, \cdots, B_{n}$ 线性表出. 又设 $A_{i_{1}}, A_{i_{2}}, \cdots, A_{i_{r}}$ 及 $B_{j_{1}}, B_{j_{2}}, \cdots, B_{j_{s}}$ 分别是 $A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 和 $B_{1}$, $B_{2}, \cdots, B_{n}$ 的极大线性无关组, 则 $A_{1}+B_{1}, A_{2}+B_{2}, \cdots, A_{n}+B_{n}$ 都可由向量组 $A_{i_{1}}, A_{i_{2}}, \cdots$, $A_{i_{r}}, B_{j_{1}}, B_{j_{2}}, \cdots, B_{j_{s}}$ 线性表出.故

$\begin{aligned} \text { 秩 }(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) &=\text { 秩 }\left\{\boldsymbol{A}_{1}+\boldsymbol{B}_{1}, \boldsymbol{A}_{2}+\boldsymbol{B}_{2}, \cdots, \boldsymbol{A}_{n}+\boldsymbol{B}_{n}\right\} \\ & \leqslant \text { 秩 }\left\{\boldsymbol{A}_{i_{1}}, \boldsymbol{A}_{i_{2}}, \cdots, \boldsymbol{A}_{i_{r}}, \boldsymbol{B}_{j_{1}}, \boldsymbol{B}_{j_{2}}, \cdots, \boldsymbol{B}_{j_{s}}\right\} \leqslant r+s, \end{aligned}$

即秩 $(A+B) \leqslant$ 秩 $(\boldsymbol{A})+$ 秩 $(\boldsymbol{B})$.

(2) 因$A B=O, B$ 的各个列向量都是齐次方程组 $A X=0$ 的解,故能由它的基础解 系线性表出. 于是秩 $(\boldsymbol{B}) \leqslant$ 基础解系的秩 $=n-$ 秩 $(\boldsymbol{A})$, 即有秩 $(\boldsymbol{A})+$ 秩 $(\boldsymbol{B}) \leqslant n$.

(3) 由 $A A^{*}=|A| E$,

$|A|\cdot\left|A^{*}\right|=|A|^{n}$

若 $|A| \neq 0$, 则

$\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=\frac{|\boldsymbol{A}|^{n}}{|\boldsymbol{A}|}=|\boldsymbol{A}|^{n-1} \text {. }$

若 $|\boldsymbol{A}|=0$, 则 $\boldsymbol{A A}{ }^{*}=\boldsymbol{O}$.

a.$A=O$, 则 $A$ 的各子式为零, 于是 $A^{*}=O$, 这时当然有

$|\boldsymbol{A}|^{*}=0=|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{A}|^{n-1} \text {. }$

b.$\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$, 即有秩 $(\boldsymbol{A})>0$. 由

$\boldsymbol{A \boldsymbol { A } ^ { * }}=\boldsymbol{O}$

及秩 $(\boldsymbol{A})+$ 秩 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right) \leqslant n$. 于是可知秩 $\left(A^{*}\right) \leqslant n-1$, 所以 $\left|A^{*}\right|=0$. 与 1) 一样有 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$.

(4) 当秩 $(\boldsymbol{A})=n$ 时 $|\boldsymbol{A}| \neq 0,\left|\boldsymbol{A}^{*}\right|=|\boldsymbol{A}|^{n-1} \neq 0$. 故秩 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=n$.

当秩 $(\boldsymbol{A})=n-1$ 时, $\boldsymbol{A}$ 至少有一个 $n-1$ 级子式 $\neq 0$, 即 $\boldsymbol{A}^{*} \neq \boldsymbol{O}$, 秩 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right) \geqslant 1$.

又这时秩 $(\boldsymbol{A})=n-1,|\boldsymbol{A}|=0$, 故 $\boldsymbol{A \boldsymbol { A } ^ { * }}=|\boldsymbol{A}| \boldsymbol{E}=\boldsymbol{O}$.

再由 秩 $(\boldsymbol{A})+$ 秩 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right) \leqslant n$, 故 秩 $\left(A^{*}\right) \leqslant n-(n-1)=1$, 所以秩 $\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=1$.

当秩 $(\boldsymbol{A})<n-1$ 时, $\boldsymbol{A}$ 的任意 $n-1$ 行皆线性相关, 故它的任意 $n-1$ 级子式都为零. 所以 $A^{*}=O$, 因而秩 $\left(A^{*}\right)=0$.

(5) (i) 由

$\left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ -A & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ O & E_{n}-A \boldsymbol{B} \end{array}\right),$

知

$\left|E_{n}-A B\right|=\left|\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ O & E_{n}-A B \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ -A & E_{n} \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{array}\right| .$

又由

$\left(\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ -A & E_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} E_{m}-B A & B \\ O & E_{n} \end{array}\right),$

得

$\left|E_{m}-B A\right|=\left|\begin{array}{cc} E_{m}-B A & B \\ O & E_{n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{array}\right|\left|\begin{array}{cc} E_{m} & O \\ -A & E_{n} \end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc} E_{m} & B \\ A & E_{n} \end{array}\right| .$

此题得证.

(ii)由 (i)有

$\left|\boldsymbol{E}_{n}-\boldsymbol{A}\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\lambda}\right)\right|=\left|\boldsymbol{E}_{m}-\left(\frac{\boldsymbol{B}}{\lambda}\right) \boldsymbol{A}\right|$

于是

$\frac{1}{\lambda^{n}}\left|\lambda \boldsymbol{E}_{n}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\right|=\frac{1}{\lambda^{m}}\left|\lambda E_{m}-B A\right| \text {, }$

即

$\left|\lambda \boldsymbol{E}_{n}-\boldsymbol{A B}\right|=\lambda^{n-m}\left|\lambda E_{m}-B A\right| .$