正定矩阵的应用：实对称矩阵正定的情形

• 实对称矩阵正定的情形

(1) 设$A$是实对称矩阵，证明：当实数$t$充分大之后，$tE+A$是正定矩阵；

(2) $A$是一实矩阵，证明：$秩(AA^T)=秩(A)$.

思路 (1) 利用正定的八条性质中的: 所有顺序主子式为正；

(2) 只需证$AX=O$与$A^TAX=O$同解.

证明 (1) 设

$\begin{aligned} \boldsymbol{A} &=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), \end{aligned}$

$\begin{aligned} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{t} \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc} t+a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{12} & t+a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 n} & a_{2 n} & \cdots & t+a_{n n} \end{array}\right) . \end{aligned}$

$\boldsymbol{B}$ 的第 $k$ 个顺序主子式为

$H_k=\left|\begin{array}{cccc} t+a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 k} \\ a_{12} & t+a_{22} & \cdots & a_{2 k} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1 k} & a_{2 k} & \cdots & t+a_{k k} \end{array}\right| \quad(k=1,2, \cdots, n) .$

这是 $t$ 的一个 $k$ 次多项式, 首项系数为 1 . 因此当 $t$ 大于某个数 $t_k$ 时, $H_k>0$.

取 $t_0$ 等于 $t_1, t_2, \cdots, t_n$ 中最大的一个, 于是当 $t>t_0$ 时, $t \boldsymbol{E}+\boldsymbol{A}$ 是正定矩阵.

(2) 考察下列两个齐次方程组

$\begin{gathered} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0}, \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\mathbf{0} . \end{gathered}$

显然 (1) 的解是 (2) 的解. 反之设 $\boldsymbol{X}_0$ 是 (2) 的解, 即 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0=\boldsymbol{0}$, 于是

$\boldsymbol{X}_0^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0\right)=0 .$

令 $\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0\right)^{\mathrm{T}}=\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$, 则有

$\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0\right)^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0\right)=y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2=0 .$

即有 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)=\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0\right)^{\mathrm{T}}=\mathbf{0}$,于是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}_0=\mathbf{0}, \boldsymbol{X}_0$ 也是 (1) 的解. 这证明了 (1), (2) 同 解,即 (1)，(2) 的基础解系中有同样多的解.

而 (1)，(2) 的基础解系中应各有 $n-$ 秩 $(\boldsymbol{A})$ 和 $n-$ 秩 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)$ 个解, 故秩 $(\boldsymbol{A})=$ 秩 $\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right)$.