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数学学习笔记

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  • 函数列与函数项级数一致收敛的判别

  1. 试总结函数列一致收敛的判别方法。

  2. 试总结函数项级数一致收敛的判别方法。

  3. 设S(x)S(x)在[0,1][0,1]上连续，且S(1)=0S(1)=0，证明：{xnS(x)}\{x^nS(x)\}在[0,1][0,1]上一致收敛.

  4. 判断以下函数项级数是否一致收敛？

    a. ∑n=1n=∞sin⁡xsin⁡nxn\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n}}

    b. ∑n=0n=∞x2(1+x2)n\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n}

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  • Riemann函数的性质（极限、连续间断与可积性）

黎曼函数定义如下：

R(x)={1p, x=qp(p∈N+,q∈Z(不含0),p,q互素)1, x=0,0, x是无理数R\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{p},\ x=\dfrac{q}{p}\left( p\in N^+,q\in Z(不含{0}),p,q互素 \right)\\ 1,\ x=0,\\ 0,\ x\text{是无理数}\\ \end{array}\right.

证明：（1）R(x)R(x)在任意点的极限存在，且极限为0；

​ (2) 在一切无理点连续，有理点不连续（为可去间断点）.

​ (3) 讨论R(x)R(x)在[0,1]上的可积性。

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  • 在FreeFEM++中，诺依曼边界条件如下（v,w,qv,w,q为测试函数）

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    +int1d(Th,1,2,3,4)(g*v+g*w+g*q);

这里∇u⋅n=g, on ∂Ω\nabla u\cdot \textbf{n}=g, \ \text{on}\ \partial\Omega.