Riemann函数的性质（极限、连续间断与可积性）

• Riemann函数的性质（极限、连续间断与可积性）

黎曼函数定义如下：

$R\left( x \right) =\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{p},\ x=\dfrac{q}{p}\left( p\in N^+,q\in Z(不含{0}),p,q互素 \right)\\ 1,\ x=0,\\ 0,\ x\text{是无理数}\\ \end{array}\right.$

证明：（1）$R(x)$在任意点的极限存在，且极限为0；

​ (2) 在一切无理点连续，有理点不连续（为可去间断点）.

​ (3) 讨论$R(x)$在[0,1]上的可积性。

**解：**先证明一个问题：$R(x)$是一个以1为周期的函数。（$R(x+1)=R(x)$)

分三种情况讨论：a. $x=\dfrac{q}{p}$为非零有理数时, $R(x+1)=R(x)=\dfrac{1}{p}$也为非零有理数, 根据函数定义：$R(x+1)=R(x)=\dfrac{1}{p}.$

b. $x$为无理数时，$x+1$也为无理数，$R(x+1)=R(x)=0.$

c. $x=0$时，$R(x+1)=R(1)=1=R(x).$

综上，$R(x+1)=R(x)$对$\forall x\in \mathbf{R}$，故只需讨论区间$[0,1].$

证明：(1) 先列一个表格：

分母为	有理数包括
1	$\dfrac{0}{1},\dfrac{1}{1}$
2	$\dfrac{1}{2}$
3	$\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3}$
4	$\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}$
5	$\dfrac{1}{5},\dfrac{2}{5},\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}$

总结：对$\forall k\in Z^+$,在$[0,1]$不超过$k$的有理数总为有限个。

设$x_0$为$[0,1]$的任意一点，$\forall \varepsilon>0$, 取$k=[\dfrac{1}{\varepsilon}]$, 设在$[0,1]$不超过$k$的有理数为：$r_i(1\leq i\leq n)$, 记$\delta=\min\limits_{1\leq i\leq n}\{|r_i-x_0|\}$,

当$|x-x_0|< \delta$时，分两种情况

a. $x$是无理数时，$R(x)=0<\varepsilon;$

b. $x$是有理数时，$x$的分母必然大于$k$(因为要满足$|x-x_0|< \delta$, 必须包含所有$r_i$), 这样$R(x)\leq\dfrac{1}{k+1}<\varepsilon$.

根据极限定义，$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)=0$。结合$x_0$的任意性与周期性，（1）得证。

（2）根据（1）的结论：

a. 无理点处 $R(x_0)=0=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)$, 连续。

b. 有理点处 $R(x_0)=\dfrac{1}{p}$,$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}R(x)=0$, 为可去间断点。

（3）先给一个充要条件

• 黎曼可积的充要条件:

有界函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积的充分必要条件是,对任意给定的 $\varepsilon>0$, 存在着一种划分, 使得相应的振幅满足

$\sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta x_{i}<\varepsilon .$

下面给出黎曼函数可积的证明，由 Riemann 函数的性质, 对任意给定的 $0<\varepsilon<2$, 在 $[0,1]$ 上使得 $R(x)>\frac{\varepsilon}{2}$ 的点至多只有有限个, 不妨设是 $k$ 个,记为 $0=p_{1}^{\prime}<p_{2}^{\prime}<\cdots<p_{k}^{\prime}=1$.
作 $[0,1]$ 的划分（涉及$2k$个区间）

$0=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{2 k-1}=1,$

使得这k个点满足（包含这k个点的区间）

$\begin{aligned} &p_{1}^{\prime} \in\left[x_{0}, x_{1}\right), x_{1}-x_{0}<\frac{\varepsilon}{2 k}, \\ &p_{2}^{\prime} \in\left(x_{2}, x_{3}\right), x_{3}-x_{2}<\frac{\varepsilon}{2 k},\\ &...... \end{aligned}$

$p_{k-1}^{\prime} \in\left(x_{2 k-4}, x_{2 k-3}\right), x_{2 k-3}-x_{2 k-4}<\frac{\varepsilon}{2 k},$

$p_{k}^{\prime} \in\left(x_{2 k-2}, x_{2 k-1}\right], x_{2 k-1}-x_{2 k-2}<\frac{\varepsilon}{2 k},$

下图给出 $k=3$ 的情况.

由于

$\sum_{i=1}^{2 k-1} \omega_{i} \Delta x_{i}=\sum_{j=0}^{k-1} \omega_{2 j+1} \Delta x_{2 j+1}+\sum_{j=1}^{k-1} \omega_{2 j} \Delta x_{2 j},$

而在右边的第一个和式中, 有 $\Delta x_{2 j+1}<\frac{\varepsilon}{2 k}$ 且 $\omega_{2 j+1}$ $\leqslant 1$; 在第二个和式中, 有 $\omega_{2 j} \leqslant \frac{\varepsilon}{2}$ 且 $\sum_{j=1}^{k-1} \Delta x_{2 j}<1$,
因此得到

$\sum_{i=1}^{n} \omega_{i} \Delta x_{i}<k \cdot \frac{\varepsilon}{2 k}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon$

由于黎曼函数是有界函数以及可积的充要条件, 可知，Riemann 函数可积.