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数学学习笔记

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Gard,Curl,Div算子定义及常用公式（一阶导数恒等式）

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本文介绍一些Gard,Curl,Div算子定义以及常用的一阶导数恒等式。

一、算子定义

（一）Grad算子定义

对于函数f(x,y,z)f(x,y,z)在三维笛卡尔坐标变量中，梯度是向量场:

grad(f)=∇f=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z).\mathrm{grad}(f)=\nabla f=\begin{pmatrix}\frac\partial{\partial x},&\frac\partial{\partial y},&\frac\partial{\partial z}\end{pmatrix}f=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}).

Remark: 1. 顾名思义，梯度与函数最快速(正)变化的方向成比例并指向该方向。

  1. 对于一个向量场 A=(A1,.….,Am)A =(A_1,.….,A_m) 写成1×n1 ×n 行向量，也称为一阶张量场，梯度或共变导数是n×nn×n雅可比矩阵 :JA=(∇A)T=(∂Ai∂xj)ij.:\mathbf{J}_{\mathbf{A}}=(\nabla\mathbf{A})^{\mathrm{T}}=\left(\frac{\partial A_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{ij}.
  2. 对于一个任意kk阶张量场AA，梯度grad(A)=(∇A)Tgrad(A)=(\nabla A)^T是一个k+1k+1阶张量场

（二）Div 算子定义

在笛卡尔坐标中，连续可微矢量场F=(Fx,Fy,Fz)\textbf{F}=(F_x,F_y,F_z)的散度是标量值函数

divF=∇⋅F=(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z)⋅(Fx, Fy, Fz)=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z.div \textbf{F} =\nabla\cdot \textbf{F}=\left(\frac{\partial}{\partial x},\:\frac{\partial}{\partial y},\:\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot(F_{x},\:F_{y},\:F_{z})=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}.

Remark 顾名思义，散度是向量发散程度的度量.

（三）Curl 算子定义

curl⁡F=∇×F=(∂∂x, ∂∂y, ∂∂z)×(Fx, Fy, Fz)=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz∣\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\left(\frac{\partial}{\partial x},\:\frac{\partial}{\partial y},\:\frac{\partial}{\partial z}\right)\times(F_x,\:F_y,\:F_z)=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_x&F_y&F_z\end{vmatrix}

Remark 顾名思义，旋度是附近矢量在圆周方向上趋向的程度的度量。

（四）拉普拉斯算子（调和算子）

Δf=(∇⋅∇)f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2.\Delta f=(\nabla\cdot\nabla)f=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}.

二、(A⋅∇)B(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} 与 A⋅(∇B)\mathbf{A}\cdot(\nabla\mathbf{B})的区别

We note: A=(A1,A2,A3)T,B=(B1,B2,B3)T\mathbf{A}=(A_1,A_2,A_3)^T,\mathbf{B}=(B_1,B_2,B_3)^T, then

算子A⋅∇=A1∂∂x+A2∂∂y+A3∂∂z\mathbf{A}\cdot\nabla=A_1\frac{\partial}{\partial x}+A_2\frac{\partial}{\partial y}+A_3\frac{\partial}{\partial z},

  • (A⋅∇)B=(A1∂B1∂x+A2∂B1∂y+A3∂B1∂z,A1∂B2∂x+A2∂B2∂y+A3∂B2∂z,A1∂B3∂x+A2∂B3∂y+A3∂B3∂z)T(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}=(A_1\frac{\partial B_1}{\partial x}+A_2\frac{\partial B_1}{\partial y}+A_3\frac{\partial B_1}{\partial z},A_1\frac{\partial B_2}{\partial x}+A_2\frac{\partial B_2}{\partial y}+A_3\frac{\partial B_2}{\partial z},A_1\frac{\partial B_3}{\partial x}+A_2\frac{\partial B_3}{\partial y}+A_3\frac{\partial B_3}{\partial z})^T
  • A⋅(∇B)=(A1∂B1∂x+A2∂B2∂x+A3∂B3∂x,A1∂B1∂y+A2∂B2∂y+A3∂B3∂y,A1∂B1∂z+A2∂B2∂z+A3∂B3∂z)T\mathbf{A}\cdot(\nabla\mathbf{B})=(A_1\frac{\partial B_1}{\partial x}+A_2\frac{\partial B_2}{\partial x}+A_3\frac{\partial B_3}{\partial x},A_1\frac{\partial B_1}{\partial y}+A_2\frac{\partial B_2}{\partial y}+A_3\frac{\partial B_3}{\partial y},A_1\frac{\partial B_1}{\partial z}+A_2\frac{\partial B_2}{\partial z}+A_3\frac{\partial B_3}{\partial z})^T

三、常用公式(一阶导数恒等式)

For scalar fields ψ,ϕ\psi,\phi and vector fields A,B\mathbf{A}, \mathbf{B}, we have the following derivative identities

Distributive properties

∇(ψ+ϕ)=∇ψ+∇ϕ\nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi

∇(A+B)=∇A+∇B\nabla(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\mathbf{A}+\nabla\mathbf{B}

∇⋅(A+B)=∇⋅A+∇⋅B\nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla{\cdot}\mathbf{A}+\nabla\cdot\mathbf{B}

∇×(A+B)=∇×A+∇×B\nabla\times\mathbf{(A+B)}=\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{B}

Product rule for multiplication by a scalar

We have the following generalizations of the product rule in single variable calculus.

∇(ψϕ)=ϕ∇ψ+ψ∇ϕ\nabla(\psi\phi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi

∇(ψA)=(∇ψ)AT+ψ∇A\nabla(\psi\mathbf{A})=(\nabla\psi)\mathbf{A}^\mathbf{T}+\psi\nabla\mathbf{A}

∇⋅(ψA)=ψ ∇⋅A+(∇ψ)⋅A\nabla\cdot(\psi\mathbf{A})=\psi\:\nabla{\cdot}\mathbf{A}+(\nabla\psi){\cdot}\mathbf{A}

∇×(ψA)=ψ∇×A+(∇ψ)×A\nabla\times(\psi\mathbf{A})=\psi\nabla\times\mathbf{A}+(\nabla\psi)\times\mathbf{A}

Δ(ψϕ)=ψΔϕ+2 ∇ψ⋅∇ϕ+ϕ Δψ\Delta (\psi\phi)=\psi\Delta\phi+2\:\nabla\psi\cdot\nabla\phi+\phi\:\Delta\psi

Quotient rule for division by a scalar

∇(ψϕ)=ϕ∇ψ−ψ∇ϕϕ2\nabla\left(\frac\psi\phi\right)=\frac{\phi\nabla\psi-\psi\nabla\phi}{\phi^2}

∇(Aϕ)=ϕ∇A−∇ϕ⊗Aϕ2\nabla\left(\frac{\mathbf{A}}\phi\right)=\frac{\phi\nabla\mathbf{A}-\nabla\phi\otimes\mathbf{A}}{\phi^2}

∇⋅(Aϕ)=ϕ∇⋅A−∇ϕ⋅Aϕ2\nabla\cdot\left(\frac{\mathbf{A}}{\phi}\right)=\frac{\phi\nabla\cdot\mathbf{A}-\nabla\phi\cdot\mathbf{A}}{\phi^{2}}

∇×(Aϕ)=ϕ∇×A−∇ϕ×Aϕ2\nabla\times\left(\frac{\mathbf{A}}\phi\right)=\frac{\phi\nabla\times\mathbf{A}-\nabla\phi\times\mathbf{A}}{\phi^2}

Dot product rule

∇(A⋅B) = (A⋅∇)B + (B⋅∇)A +A×(∇×B) +B×(∇×A)\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})\:=\:(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}\:+\:(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}\:+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})\:+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})

=(∇B)⋅A+(∇A)⋅B=(\nabla\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}+(\nabla\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}

  • See these notes.\mathsf{notes.}As a special case, when A=B,\mathbf{A}=\mathbf{B},

12∇(∣A∣2) = 12∇(A⋅A) = (∇A)⋅A = (A⋅∇)A + A×(∇×A).\frac{1}{2}\nabla\left(|\mathbf{A}|^2\right)\:=\:\frac{1}{2}\nabla\left(\mathbf{A}\cdot\mathbf{A}\right)\:=\:(\nabla\mathbf{A})\cdot\mathbf{A}\:=\:(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{A}\:+\:\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{A}).

Notes: 这里 (A⋅∇)B(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B} 与 A⋅(∇B) = ((∇B)⋅A)T\mathbf{A}\cdot(\nabla\mathbf{B})\:=\:((\nabla\mathbf{B})\cdot\mathbf{A})^T的区别在第二部分已经介绍。

Cross product rule

∇⋅(A×B) = (∇×A)⋅B − A⋅(∇×B)\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\:=\:(\nabla{\times}\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}\:-\:\mathbf{A}\cdot(\nabla{\times}\mathbf{B})

∇×(A×B)=A(∇B)−B(∇⋅A)+(B⋅∇)A−(A⋅∇)B=(∇⋅B+B⋅∇)A−(∇⋅A+A⋅∇)B=∇⋅(BAT)−∇⋅(ABT)=∇⋅(BAT−ABT)A×(∇×B)=∇B(A⋅B)−(A⋅∇)B=(∇B)⋅A−(A⋅∇)B(A×∇)×B=(∇B)⋅A−A(∇⋅B)=A×(∇×B)+(A⋅∇)B−A(∇⋅B)\begin{aligned}\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})&=\mathbf{A}(\nabla\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}\\&=(\nabla\cdot\mathbf{B}+\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}\\&=\nabla\cdot(\mathbf{B}\mathbf{A}^\mathrm{T})-\nabla\cdot(\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathrm{T})\\&=\nabla\cdot(\mathbf{B}\mathbf{A}^\mathrm{T}-\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathrm{T})\\\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})&=\nabla\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}\\&=(\nabla\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}\\\mathbf{(A}\times\nabla)\times\mathbf{B}&=(\nabla\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}-\mathbf{A}(\nabla\cdot\mathbf{B})\\&=\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}-\mathbf{A}(\nabla\cdot\mathbf{B})\end{aligned}

Second derivatives

四、常用公式(重要公式分类汇总)

Gradient

∇(ψ+ϕ)=∇ψ+∇ϕ\nabla(\psi+\phi)=\nabla\psi+\nabla\phi

∇(ψϕ)=ϕ∇ψ+ψ∇ϕ\nabla(\psi\phi)=\phi\nabla\psi+\psi\nabla\phi

∇(ψA)=∇ψ⊗A+ψ∇A\nabla(\psi\mathbf{A})=\nabla\psi\otimes\mathbf{A}+\psi\nabla\mathbf{A}

∇(A⋅B)=(A⋅∇)B+(B⋅∇)A+A×(∇×B)+B×(∇×A)\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})

Divergence

∇⋅(A+B)=∇⋅A+∇⋅B\nabla\cdot(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\cdot\mathbf{A}+\nabla\cdot\mathbf{B}

∇⋅(ψA)=ψ∇⋅A+A⋅∇ψ\nabla\cdot(\psi\mathbf{A})=\psi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\psi

∇⋅(A×B)=(∇×A)⋅B−(∇×B)⋅A\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\nabla\times\mathbf{A})\cdot\mathbf{B}-(\nabla\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{A}

Curl

∇×(A+B)=∇×A+∇×B\nabla\times(\mathbf{A}+\mathbf{B})=\nabla\times\mathbf{A}+\nabla\times\mathbf{B}

∇×(ψA)=ψ(∇×A)−(A×∇)ψ=ψ(∇×A)+(∇ψ)×A\nabla\times(\psi\mathbf{A})=\psi\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)-(\mathbf{A}\times\nabla)\psi=\psi\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)+(\nabla\psi)\times\mathbf{A}

∇×(ψ∇ϕ)=∇ψ×∇ϕ\nabla\times(\psi\nabla\phi)=\nabla\psi\times\nabla\phi

∇×(A×B)=A(∇⋅B)−B(∇⋅A)+(B⋅∇)A−(A⋅∇)B\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{A}\left(\nabla\cdot\mathbf{B}\right)-\mathbf{B}\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}-(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}

Vector dot Del Operator

(A⋅∇)B=12[∇(A⋅B)−∇×(A×B)−B×(∇×A)−A×(∇×B)−B(∇⋅A)+A(∇⋅B)](\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}=\frac12\left[\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})-\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})-\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})-\mathbf{B}(\nabla\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\cdot\mathbf{B})\right]

(A⋅∇)A=12∇∣A∣2−A×(∇×A)=12∇∣A∣2+(∇×A)×A(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{A}=\frac12\nabla|\mathbf{A}|^2-\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{A})=\frac12\nabla|\mathbf{A}|^2+(\nabla\times\mathbf{A})\times\mathbf{A}

五、常用公式(二阶导数恒等式)

∇⋅(∇×A)=0\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0

∇×(∇ψ)=0\nabla\times(\nabla\psi)=\mathbf{0}

∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−ΔA\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\nabla(\nabla{\cdot}\mathbf{A})-\Delta\mathbf{A}

∇⋅(∇ψ)=Δψ (scalar Laplacian)\nabla\cdot(\nabla\psi)=\Delta\psi\text{ (scalar Laplacian)}

∇(∇⋅A)−∇×(∇×A)=ΔA\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{A}\right)-\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A})=\Delta\mathbf{A}

∇⋅(ϕ∇ψ)=ϕΔψ+∇ϕ⋅∇ψ\nabla\cdot(\phi\nabla\psi)=\phi\Delta\psi+\nabla\phi\cdot\nabla\psi

ψΔϕ−ϕΔψ=∇⋅(ψ∇ϕ−ϕ∇ψ)\psi\Delta\phi-\phi\Delta\psi=\nabla\cdot(\psi\nabla\phi-\phi\nabla\psi)

Δ(ϕψ)=ϕΔψ+2(∇ϕ)⋅(∇ψ)+(Δϕ)ψ\Delta(\phi\psi)=\phi\Delta\psi+2(\nabla\phi)\cdot(\nabla\psi)+\left(\Delta\phi\right)\psi

Δ(ψA)=AΔψ+2(∇ψ⋅∇)A+ψΔA\Delta(\psi\mathbf{A})=\mathbf{A}\Delta\psi+2(\nabla\psi\cdot\nabla)\mathbf{A}+\psi\Delta\mathbf{A}

Δ(A⋅B)=A⋅ΔB−B⋅ΔA+2∇⋅((B⋅∇)A+B×(∇×A))\Delta(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=\mathbf{A}\cdot\Delta\mathbf{B}-\mathbf{B}\cdot\Delta\mathbf{A}+2\nabla\cdot((\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A}))

六、常用公式(三阶导数恒等式)

∙Δ(∇ψ)=∇(∇⋅(∇ψ))=∇(Δψ)∙Δ(∇⋅A)=∇⋅(∇(∇⋅A))=∇⋅(ΔA)∙Δ(∇×A)=−∇×(∇×(∇×A))=∇×(ΔA)\begin{aligned} &\bullet\Delta(\nabla\psi)=\nabla(\nabla\cdot(\nabla\psi))=\nabla\left(\Delta\psi\right) \\ &\bullet\left.\Delta(\nabla\cdot\mathbf{A})=\nabla\cdot(\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A}))=\nabla\cdot\left(\Delta\mathbf{A}\right)\right. \\ &\bullet\Delta(\nabla\times\mathbf{A})=-\nabla\times(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}))=\nabla\times\left(\Delta\mathbf{A}\right) \end{aligned}

参考文献

向量微积分恒等式 - HandWiki