函数列与函数项级数

• 函数列与函数项级数一致收敛的判别

1. 试总结函数列一致收敛的判别方法。

2. 试总结函数项级数一致收敛的判别方法。

3. 设$S(x)$在$[0,1]$上连续，且$S(1)=0$，证明：$\{x^nS(x)\}$在$[0,1]$上一致收敛.

4. 判断以下函数项级数是否一致收敛？

   a. $\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n}}$

   b. $\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n}$

1. 试总结函数列敛散性的判别方法。

解 a.(定义)

我们称函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 $f(x)$ ,如果$\forall\epsilon>0,\exists N,\forall n>N$, 对一切 $x\in D$ ,都有 $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.$

NOTE: 一致收敛记作 $f_n(x)\rightrightarrows f(x)(n\to\infty),x\in D.$

b. (函数列的柯西准则)

$f_n(x)\rightrightarrows f(x),x\in D$的充分必要条件是

$\forall\epsilon>0,\exists N>0,\forall n,m>N,\text{对一切}x\in D\text{,都有}\left|f_n(x)-f_m(x)\right|<\epsilon.$

c. (函数列一致收敛的确界极限)

$f_n(x)\rightrightarrows f(x),x\in D$的充分必要条件是

$\lim\limits_{n\to\infty}\sup\limits_{x\in D}|f_n(x)-f(x)|=0.$

d. (函数列一致收敛的狄尼定理)

设连续函数列 $|S_n(x)|$ 在$[a,b]$ 收敛于$S(x)$.

若(i) S(x) 在[a,b] 上连续；(ii) $\forall x\in[a,b]$(固定),$|S_n(x)|$ 关于 $n$ 单调，

则$\left\{S_n(x)\right\}$在$[a,b]$上一致收敛于$S(x).$

(2) 试总结函数项级数一致收敛的判别方法；

解 a.(函数项级数的柯西收敛准则)

函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收玫的充分必要条件是: 对于任意给定的 $\varepsilon>0$, 存在正整数 $N=N(\varepsilon)$, 使

$\left|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_m(x)\right|<\varepsilon$

利用柯西收敛准则可以证明Weierstrass判别法

b. (Weierstrass判别法) (魏尔斯特拉斯判别法)

设函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)(x \in D)$ 的每一项 $u_n(x)$ 满足

$\left|u_n(x)\right| \leqslant a_n, \quad x \in D,$

并且数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛.
证 由于对一切 $x \in D$ 和正整数 $m>n$, 有

$\left|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_m(x)\right|$

$\leqslant\left|u_{n+1}(x)\right|+\left|u_{n+2}(x)\right|+\cdots+\left|u_m(x)\right|$

$\leqslant a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_m \text {, }$

由a. 和数项级数的 Cauchy 收敛原理, 即得到 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛.

c. (函数项级数的A-D判别法)

设函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)(x \in D)$ 满足如下两个条件之一, 则 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n(x) b_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛.

NO1. (Abel 判别法) 函数序列 $\left\{a_n(x)\right\}$ 对每一固定的 $x \in D$ 关于 $n$ 是单调的,且 $\left\{a_n(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致有界:

$\left|a_n(x)\right| \leqslant M, \quad x \in D, \quad n \in \mathbf{N}^{+} ;$

同时, 函数项级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n(x)$ 在 $D$ 上一致收玫.
No2. (Dirichlet 判别法) 函数序列 $\left\{a_n(x)\right\}$ 对每一固定的 $x \in D$ 关于 $n$ 是单调 的, 且 $\left\{a_n(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于 0 ; 同时, 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n(x)$ 的部分和序列在 $D$ 上 一致有界:

$\left|\sum_{k=1}^n b_k(x)\right| \leqslant M, \quad x \in D, \quad n \in \mathbf{N}^{+} .$

3. 设$S(x)$在$[0,1]$上连续，且$S(1)=0$，证明：$\{x^nS(x)\}$在$[0,1]$上一致收敛.

思路 利用函数列一致收敛的定义来证明，本题只需证明对任意的$x\in[0,1]$, 有$|x^nS(x)|<\varepsilon$.($n\rightarrow\infty$)

解 $S(x)$在$[0,1]$上连续$\Longrightarrow$ $S(x)有界$

且$S(1)=0\Longrightarrow |x^nS(x)|<\varepsilon$.($x\in(1-\delta,1], n\rightarrow\infty$)$

当$x\in[0,1-\delta]$时，$x^n\rightarrow 0(n\rightarrow \infty)$

故$\forall \varepsilon>0,\exists N, n>N$时，$|x^n|<\dfrac{\varepsilon}{M}$

所以当$x\in[0,1-\delta]$时，$|x^nS(x)|<\varepsilon$

综上，对任意的$x\in[0,1]$, 有$|x^nS(x)|<\varepsilon$.($n\rightarrow\infty$).

4. 判断以下函数项级数是否一致收敛

a. $\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\dfrac{\sin x\sin nx}{\sqrt{n}}$

b. $\sum\limits_{n=0}^{n=\infty}\dfrac{x^2}{(1+x^2)^n}$

(2) a. 设 $a_n(x)=\frac{1}{\sqrt{n}}, b_n(x)=\sin x \sin n x$, 由于 $a_n(x)$ 与 $x$ 无关且单调趋于零, 所以 $\left\{a_n(x)\right\}$ 对固定的 $x \in(-\infty,+\infty)$ 关于 $n$ 是单调的, 且在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收玫于 零, 同时

$\left|\sum_{k=1}^n b_k(x)\right|=\left|\cos \frac{x}{2} \sum_{k=1}^n 2 \sin \frac{x}{2} \sin k x\right|=\left|\cos \frac{x}{2}\right| \cdot\left|\cos \left(n+\frac{1}{2}\right) x-\cos \frac{x}{2}\right| \leqslant 2,$

由 Dirichlet 判别法, $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{\sin x \sin n x}{\sqrt{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛.
b. 设 $u_n(x)=\dfrac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}$, 取 $\varepsilon_0=\frac{1}{\mathrm{e}^2}>0$, 对任意的正整数 $N$, 取 $m=2 n(n>N)$ 与 $x_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}} \in(-\infty,+\infty)$, 则

$\sum_{k=n+1}^m u_k\left(x_n\right)=\frac{x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{n+1}}+\frac{x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{n+2}}+\cdots+\frac{x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{2 n}}>\frac{n x_n^2}{\left(1+x_n^2\right)^{2 n}}>\frac{1}{\mathrm{e}^2}=\varepsilon_0,$

所以 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}$ 不满足一致收敛的 Cauchy 收敛原理的条件, 由此可知 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^n}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛.