2025年华中科技大学数学分析考研真题

2025年华中科技大学数学分析考研真题

一. 计算题. 每题 10 分, 共 40 分.

1. 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\left(1+x^{2}\right)^{3}-\cos ^{2} x}{\tan x^{2}}$.

2. 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性.

3. 设 $\beta>0, \alpha>1$ 为常数, 计算无穷积分 $I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+\beta x^{\alpha}}$.

4. 设 $\alpha>0$, 求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$.

二. 解答题. 每题 15 分, 共 60 分.

1. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{3}+k^{3}+k^{2}}$.

2. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$.

3. 求积分

   $I=\oint_{C}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y .$

   其中 $C$ 是从点 $A(1,1)$ 到点 $B(2,5)$ 再到点 $C(3,2)$ 最后到点 $A(1,1)$ 的三角形边界.

4. 设 $a, b, c$ 为正常数, $S$ 为单位球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧, 计算第二类曲面积分

   $I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} .$

三. 证明题. 前两题各 10 分, 后两题各 15 分.

1. 用 $\varepsilon-N$ 语言证明极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt{(2 n)!}}=0$.

2. 设

   $\begin{aligned} & x_{1}=1, x_{2}=\sqrt{\frac{1}{2}+1}, x_{3}=\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}, x_{4}=\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}} \\ & \qquad \cdots, x_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{n+1}+x_{n}}, \cdots . \end{aligned}$

   证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求出极限值.

3. 设函数 $f(x) \in C(0,+\infty)$, 满足 $x=f(x) 5^{f(x)}$. 证明:
   (1) $f(x)$ 单调递增.
   (2) $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$.
   (3) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{\ln x}=\frac{1}{\ln 5}$.

4. 对常数 $a>0$, 记平面区域 $D: x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$ 的边界为 $\partial D$. 设二元函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数, 且 $f(x, y)=0,(x, y) \in \partial D$. 证明:

   $\left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{\pi a^{2}}{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}$

二、2025年华中科技大学高等代数考研真题

1. (15分) 计算行列式

   $D=\left|\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2021 & 2022 & 2023 & 2024 & 2025 \\ 2021^{2} & 2022^{2} & 2023^{2} & 2024^{2} & 2025^{2} \\ 2021^{3} & 2022^{3} & 2023^{3} & 2024^{3} & 2025^{3} \\ 2021^{5} & 2022^{5} & 2023^{5} & 2024^{5} & 2025^{5} \end{array}\right|.$

2. (15分) 设向量

   $\alpha_{1}=(a, 2,10)^{\prime}, \alpha_{2}=(-2,1,5)^{\prime}, \alpha_{3}=(-1,1,4)^{\prime}, \beta=(1,b,2)^{\prime}.$

   当 $a, b$ 满足什么条件时:
   (1) $\beta$ 不能表示为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合?
   (2) $\beta$ 可以唯一地表示为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性表出?
   (3) $\beta$ 可以以无穷种方式表示为 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合? 写出所有的表示式.

3. (20分) 设 $A, B, C, D$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $CD' = DC'$, 证明:

   $\operatorname{det}\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right)=\operatorname{det}(AD'-BC').$

4. (20分) 对于二阶矩阵 $A, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, A \neq O$, 若

   $\operatorname{det}(A+B_{i})=\operatorname{det}(A)+\operatorname{det}\left(B_{i}\right), i=1,2,3,4 .$

   证明: 矩阵 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ 线性相关.

5. (20分) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵. 证明: 如果存在一个复可逆矩阵 $P$, 使得 $P^{-1}AP=B$. 那么一定存在一个实可逆矩阵 $Q$, 使得 $Q^{-1}AQ=B$.

6. (20分) 设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵, 且 $\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$. 证明: $A^{2}B=A$ 的充要条件是 $B^{2}A=B$.

7. (20分) 设 $A$ 为实方阵, $A+A^{\prime}$ 为正定矩阵, 但 $A \neq A^{\prime}$. 证明: $\operatorname{det}(A+A^{\prime})<\operatorname{det}(2A)$.

8. (20分) 设 $\alpha, \beta, \gamma$ 是欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中三个非零向量, 已知它们两两正交. 记矩阵 $A=\alpha \beta^{\prime}+\beta \gamma^{\prime}+\gamma \alpha^{\prime}$.
   (1) 证明: $\operatorname{rank}(A)=3$.
   (2) $A$ 是否可以相似对角化? 请证明你的结论.