2025年南开大学数学分析考研真题

2025年南开大学数学分析考研真题

1.(25分)求极限 $$\lim_{x\to0}\frac{\sin(\ln(1+x))-\ln(1+\sin x)}{\sin(\sin x)-\ln(1+\ln(1+x))}$$
2.(25分)设函数$f(x)$在点$x_0$处连续，在$x_0$的去心邻域内二阶可导且二阶导函数有界。证明：$f(x)$在点$x_0$处左右导数都存在。

3.(25分)设$f(x)$在$[0,+\infty)$上连续，且$\lim_{x\to+\infty}f(x)=A$，$g(x)$在$[0,1]$上可积，证明：

$\lim_{n\to\infty}\int_0^1f(nx)g(x)\,\mathrm{d}x=A\int_0^1g(x)\,\mathrm{d}x.$

4.(20分)设$f:(a,b)\to(a,b)$满足对任意的$x,y\in(a,b)$，当$x\neq y$时，有 $$ |f(x)-f(y)|<|x-y|. $$ 任取$x_1\in(a,b)$，令$x_{n+1}=f(x_n)$，$n=1,2,\cdots$，证明：数列$\{x_n\}_{n=1}^\infty$收敛。

5.(20分)设定义在$\mathbb{R}$上的函数$f(x)$在$x=0$处连续，对任意满足$a_n<0<b_n$且$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0$的点列$\{a_n\},\{b_n\}$，极限$\lim_{n\to\infty}\frac{f(b_n)-f(a_n)}{b_n-a_n}$都存在。证明：函数$f(x)$在$x=0$处可微。

6.(20分)设$f(x)=\arctan(\sin x)$，$x_1=\frac{1}{2}$，令$x_{n+1}=f(x_n)$，$n=1,2,\cdots$，讨论$\sum_{n=1}^\infty x_n^2$的敛散性。

7.(15分)求重积分$\iint_{x^2+y^2\leq1}(e^y+e^{-y})\cos x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$.

二、2025年南开大学高等代数考研真题

1. (30分) 若线性方程组

   $\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 + ax_3 = 1; \\ x_1 + ax_2 + x_3 = 1; \\ ax_1 + x_2 + x_3 = -2. \end{array} \right.$

   有无穷多组解，求 $a$ 的值，并写出方程组的一般解。

2. (20分) 计算行列式

   $\left| \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \end{array} \right|.$

3. (20分) 求矩阵

   $A=\left(\begin{array}{rrrr} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

   的若尔当标准形。

4. (20分) 若正定矩阵 $A$ 满足

   $A^2=\left(\begin{array}{rrrr} 10 & -6 & 0 & 0 \\ -6 & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & -6 \\ 0 & 0 & -6 & 10 \end{array}\right).$

   求所有这样的 $A$。

5. (20分) 设 $\mathscr{L}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\operatorname{Ker} \mathscr{L}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{L}^{k+1}$ 对某个正整数 $k$ 成立，证明：

   $\operatorname{Ker} \mathscr{L}^{j}=\operatorname{Ker} \mathscr{L}^{j+1}$

   对任意整数 $j \geq k$ 成立。

6. (20分) 设 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $A^{2}=A, B^{2}=B$，求证：$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们的秩相等。

7. (10分) 设 $V^{*}$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间，$V_{1}^{*}, V_{2}^{*}$ 是 $V^{*}$ 的子空间。记

   $\begin{aligned} W &=\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{1}^{*} \cap V_{2}^{*}\}; \\ W_{i} &=\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{i}^{*}\}, i=1,2 . \end{aligned}$

   证明: $W=W_{1}+W_{2}$。

8. (10分) 设 $B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, C \in \mathbb{R}^{2 \times n}, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$，且 $B, D$ 均为对称矩阵。设 $B$ 的两个特征值为 $\mu_{1}, \mu_{2}$，矩阵

   $A=\left(\begin{array}{ll} B & C \\ C^{\top} & D \end{array}\right)$

   的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}$，求证：

   $\min \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}\right\} \leq \min \left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}.$