2025年华南理工大学数学分析考研真题

一、2025年华南理工大学数学分析考研真题

(12分) 已知数列 $x_{0}=a>0, x_{n}=\arctan x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ . 证明:

(1) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ .

(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{2 n}{3}} x_{n}=1$ .
(12分) 证明函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{x} \ln x, & x>0 ; \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续.
(12分) 证明不等式 $\frac{1}{\sin ^{2} x} \leqslant \frac{1}{x^{2}}+1-\frac{4}{\pi^{2}}\left(0<x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ .
(14分) 设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 证明:

(1) 若 $g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微且 $\mathrm{d}_{g}(0,0)=0$ . 则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微, 且 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ .

(2) 若 $g(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处有偏导数且 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微, 则 $\mathrm{d} f(0,0)=0$ .

(12分) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续, 在 $(0,1)$ 内可导, $f(0)=1$ . 证明:

(1) 存在 $\xi \in(0,1)$ , 使得 $f(1)=(1+\xi) f^{\prime}(\xi) \ln 2+1$ .

(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt{1+x}-1)=\ln (1+x), x \in(0,1)$ .
(12分) 设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积, 证明: 存在折线函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ , 使得
$\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x .$
(12分) 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n-1}}{4 n+1}$ 的收敛域与和函数 $S(x)$ .
(12分) 计算曲面积分 $F(t)=\iint_{x+y+z=t} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ , 其中
$f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{cl} 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, & x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}+z^{2}>1 . \end{array}\right.$
(12分) 设 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛, 且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有意义 (有限数或 $+\infty$ 或 $-\infty$ ). 证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ .
(12分) 设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ , 试证:
$\int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \ln \frac{b}{a}(a>0, b>0) .$
(13分) 设 $u=x+y, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ , 试用新变量 $u, v$ 变换等式
$x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 .$
(假设所有出现的二阶偏导数都连续)
(15分) 设函数列 $f_{n}(x)=n x e^{-n^{2} x^{2}}, x \in[0,1], n=1,2, \cdots$ . 证明:

(1) $\left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上收敛于 $f(x)=0$ .

(2) $\left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛于 $f(x)=0$ ? 判断并给出理由.

(3) $\left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $[0,1]$ 上积分平均收敛于 $f(x)=0$ , 即 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ .

二、2025年华南理工大学高等代数考研真题

(15分) 设 $f(x)$ 是非零整系数多项式, 证明:
(1) 对任意整数 $a$ , 存在整系数多项式 $q(x)$ 和整数 $r$ , 使得 $f(x)=(x-a) q(x)+r$ .
(2) 如果有两不同的整数 $a, b, c$ , 使得 $\left|f(a)\right|=\left|f(b)\right|=\left|f(c)\right|=1$ , 则 $f(x)$ 没有整数根.
(20分) 设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ , 且
$a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0, a_{1 j}+a_{2 j}+\cdots+a_{n j}=0(i, j=1,2, \cdots, n) .$
证明: $A$ 的所有元素的代数余子式都相等.
(20分) $\lambda$ 取何值时, 线性方程组
$\left\{\begin{array}{l} -\lambda x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=1 ; \\ 2 x_{1}+(3-\lambda) x_{2}-4 x_{3}=2 ; \\ -2 x_{1}-4 x_{2}+(3-\lambda) x_{3}=-\lambda-3 . \end{array}\right.$
有唯一解, 无解, 有无穷多解? 在有无穷多解时求通解(用基础解系表出).
(20分) 设 $N$ 是 $n$ 阶零幂矩阵, 即存在自然数 $k$ , 使得 $N^{k}=O$ .
(1) 证明: $N+E$ 可逆, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵.
(2) $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, 且 $A N=N A$ , 证明: $A+N$ 可逆.
(20分) 设 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶方阵, $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ 是 $n$ 维列向量. 证明: $A-\alpha^{T} A^{-1} \alpha$ 正定当且仅当 $A$ 正定且 $\alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ .
(15分) 设 4 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{rrrr}2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & a & b & 1\end{array}\right)$ 在复数域上可对角化.

(1) 求 $A$ 的特征多项式.

(2) 确定 $a, b$ 的值.

(3) 求可逆矩阵 $P$ , 使得 $P^{-1} A P$ 为对角阵.
(20分) 设
$J=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & 1 & & \\ & \lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \lambda \end{array}\right)$
是数域 $P$ 上的 $n$ 阶若尔块阵, $V=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A J=J A\right\}$ . 证明:

(1) $V$ 是线性空间.

(2) $\dim V=n$ .
(20分) 设 $V$ 是 $n$ 维线性空间, $V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间, 且 $\operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n$ . 证明: 存在 $V$ 上的线性变换 $\mathscr{A}$ , 使得 $\mathscr{A} V=V_{1}, \mathscr{A}^{-1}(0)=V_{2}$ .