差分格式截断误差

二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ 的差分格式的截断误差可以通过对泰勒级数展开进行分析得到。假设 $u(x,y)$ 在所考虑的点 $(x_i, y_j)$ 具有足够的光滑性，即其各阶偏导数都存在且连续。我们以中心差分格式为例来分析截断误差。

对于点 $(x_i, y_j)$ ，选择相邻的四个点 $(x_i + h, y_j)$ 、 $(x_i - h, y_j)$ 、 $(x_i, y_j + k)$ 、和 $(x_i, y_j - k)$ 。其中 $h$ 和 $k$ 分别是 $x$ 和 $y$ 方向的步长。

中心差分格式计算二阶混合偏导数的公式为：

\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} \bigg|_{(x_i, y_j)} \approx \frac{u(x_i + h, y_j + k) - u(x_i + h, y_j - k) - u(x_i - h, y_j + k) + u(x_i - h, y_j - k)}{4hk}

为了分析截断误差，我们对 $u(x, y)$ 在点 $(x_i, y_j)$ 附近进行泰勒展开：

\begin{aligned} u(x_i + h, y_j + k) &= u(x_i, y_j) + h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} + \frac{h^3}{6} u_{xxx} + \frac{k^3}{6} u_{yyy} + \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} + \frac{hk^2}{2} u_{xyy} + \cdots, \\ u(x_i + h, y_j - k) &= u(x_i, y_j) + h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} + \frac{h^3}{6} u_{xxx} - \frac{k^3}{6} u_{yyy} + \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} - \frac{hk^2}{2} u_{xyy} + \cdots, \\ u(x_i - h, y_j + k) &= u(x_i, y_j) - h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} - \frac{h^3}{6} u_{xxx} + \frac{k^3}{6} u_{yyy} - \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} + \frac{hk^2}{2} u_{xyy} + \cdots, \\ u(x_i - h, y_j - k) &= u(x_i, y_j) - h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} - \frac{h^3}{6} u_{xxx} - \frac{k^3}{6} u_{yyy} - \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} - \frac{hk^2}{2} u_{xyy} + \cdots. \end{aligned}

将上述四个表达式代入差分公式中：

\begin{aligned} &\frac{u(x_i + h, y_j + k) - u(x_i + h, y_j - k) - u(x_i - h, y_j + k) + u(x_i - h, y_j - k)}{4hk} \\ &= \frac{\left[ u(x_i, y_j) + h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} + \cdots \right] - \left[ u(x_i, y_j) + h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} + \cdots \right]}{4hk} \\ &\quad - \frac{\left[ u(x_i, y_j) - h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} + \cdots \right] - \left[ u(x_i, y_j) - h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} + \cdots \right]}{4hk} \\ &= \frac{u(x_i, y_j) + h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} - \left( u(x_i, y_j) + h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} \right)}{4hk} \\ &\quad - \frac{u(x_i, y_j) - h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} - \left( u(x_i, y_j) - h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} \right)}{4hk} \\ &= \frac{2hk u_{xy}}{4hk} = u_{xy} \end{aligned}

由此可见，中心差分格式的截断误差为 $\mathcal{O}(h^2 + k^2)$ 。即二阶混合偏导数的中心差分格式的截断误差是二阶的，相对于步长 $h$ 和 $k$ 是二次方的。

好的，接下来我们详细计算中心差分格式的截断误差。

首先，我们对 $u(x_i \pm h, y_j \pm k)$ 进行泰勒展开：

\begin{aligned} u(x_i + h, y_j + k) &= u(x_i, y_j) + h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} + \frac{h^3}{6} u_{xxx} + \frac{k^3}{6} u_{yyy} + \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} + \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4), \\ u(x_i + h, y_j - k) &= u(x_i, y_j) + h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} + \frac{h^3}{6} u_{xxx} - \frac{k^3}{6} u_{yyy} + \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} - \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4), \\ u(x_i - h, y_j + k) &= u(x_i, y_j) - h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} - \frac{h^3}{6} u_{xxx} + \frac{k^3}{6} u_{yyy} - \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} + \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4), \\ u(x_i - h, y_j - k) &= u(x_i, y_j) - h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} - \frac{h^3}{6} u_{xxx} - \frac{k^3}{6} u_{yyy} - \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} - \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4). \end{aligned}

将这些展开式代入中心差分公式：

\frac{u(x_i + h, y_j + k) - u(x_i + h, y_j - k) - u(x_i - h, y_j + k) + u(x_i - h, y_j - k)}{4hk}

计算差分：

\begin{aligned} &\frac{\left[ u(x_i, y_j) + h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} + \frac{h^3}{6} u_{xxx} + \frac{k^3}{6} u_{yyy} + \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} + \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4) \right]}{4hk} \\ &- \frac{\left[ u(x_i, y_j) + h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} + \frac{h^3}{6} u_{xxx} - \frac{k^3}{6} u_{yyy} + \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} - \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4) \right]}{4hk} \\ &- \frac{\left[ u(x_i, y_j) - h u_x + k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} - hk u_{xy} - \frac{h^3}{6} u_{xxx} + \frac{k^3}{6} u_{yyy} - \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} + \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4) \right]}{4hk} \\ &+ \frac{\left[ u(x_i, y_j) - h u_x - k u_y + \frac{h^2}{2} u_{xx} + \frac{k^2}{2} u_{yy} + hk u_{xy} - \frac{h^3}{6} u_{xxx} - \frac{k^3}{6} u_{yyy} - \frac{h^2 k}{2} u_{xxy} - \frac{h k^2}{2} u_{xyy} + O(h^4, k^4) \right]}{4hk} \\ &= \frac{4hk u_{xy} + \text{higher order terms}}{4hk} \\ &= u_{xy} + O(h^2) + O(k^2). \end{aligned}

因此，二阶混合偏导数 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$ 的中心差分格式的截断误差为 $\mathcal{O}(h^2) + O(k^2)$ 。这意味着误差项主要由二次项构成。具体来说，截断误差的形式为：

\text{截断误差} = C_1 h^2 + C_2 k^2 + O(h^3, k^3)

其中， $C_1$ 和 $C_2$ 是与 $ u $ 的三阶及更高阶导数有关的系数。